(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第8章 第3讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α与直线l至少有两个公共点

D．α内的直线与l都相交

解析：选B．因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．

2．(2020·大连双基测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)

A．l⊂α，m⊂β，α∥β  B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m

C．l∥α，m⊂α  D．l⊂α，α∩β＝m

解析：选B．选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交，故选B．

3．(2020·长沙市统一模拟考试)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：

①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.

真命题的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选A．由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a⊂α，b⊂β.α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题，所以真命题的个数是1，故选A．

4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH 是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

解析：选B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．

5.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.

其中推断正确的序号是(　　)

A．①③  B．①④

C．②③  D．②④

解析：选A．因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，

因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；

因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；

因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，

所以FG∥平面BC1D1，故③正确；

因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A．

6.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________．

解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．

故EF＝AC＝.

答案：

7．在下面给出的条件中，若条件足够推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：

(1)条件：a∥b，b∥c，c⊂α，______，结论：a∥α；

(2)条件：α∩β＝b，a∥b，a⊂β，______，结论：a∥α.

解析：因为a∥b，b∥c，c⊂α，所以由直线与平面平行的判定定理得，当a⊄α时，a∥α.因为α∩β＝b，a∥b，a⊂β，则由直线与平面平行的判定定理得a∥α.

答案：a⊄α　OK

8．在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，

则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，

所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.

答案：平面ABD与平面ABC

9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.

(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．

解： (1)过点P作B′C′的平行线，

交A′B′，C′D′于点E，F，

连接BE，CF.

作图如右：

(2)EF∥平面ABCD.理由如下：

因为BC∥平面A′B′C′D′，

又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，

所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，

又因为EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD.

10．(2020·南昌市摸底调研)如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；

(2)求三棱锥P­ABM的体积．

解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，

所以MN∥PA，

又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，

所以∠ACN＝60°.

又∠BAC＝60°，

所以CN∥AB.

因为CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以CN∥平面PAB.

又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB.

(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，

所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．

因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝，

所以三棱锥P­ABM的体积V＝VM­PAB＝VC­PAB＝VP­ABC＝××1××2＝.

[综合题组练]

1．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为(　　)

A．AC⊥BD

B．AC＝BD

C．AC∥截面PQMN

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

解析：选B．因为截面PQMN是正方形，

所以PQ∥MN，QM∥PN，

则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，

所以PQ∥AC，QM∥BD，

由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；

由BD∥PN，

所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；

由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.

所以＝，＝，

而AN≠DN，PN＝MN，

所以BD≠AC.B错误．故选B．

2．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在的平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C．由题图，显然①是正确的，②是错的；

对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，

所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，

所以A1D1∥平面EFGH(水面)．

所以③是正确的；

因为水是定量的(定体积V)．

所以S△BEF·BC＝V，

即BE·BF·BC＝V.

所以BE·BF＝(定值)，

即④是正确的，故选C．

3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是______；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是______．

解析：(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是平行．理由：AB∥C1D1，且AB＝C1D1，可得四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，AD1⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，则AD1∥平面BCC1.

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是相交．理由：平面A1BC1与平面ABCD有一个交点B，由公理3得，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点在一条直线上，这条直线为交线．如图，过点B作AC的平行线l，即为交线．

答案：平行　相交

4．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.

解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.

答案：Q为CC1的中点

5．如图，四边形ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

(1)求证：BE∥平面DMF；

(2)求证：平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.

6. (2020·南昌二模)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.

(1)确定点E，F的位置，并说明理由；

(2)求三棱锥F­DCE的体积．

解：(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以CE∥AD，又AB∥DC，

所以四边形AECD是平行四边形，

所以DC＝AE＝AB，

即点E是AB的中点．

因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，

平面PAD∩平面PAB＝PA，

所以EF∥PA，又点E是AB的中点，

所以点F是PB的中点．

综上，E，F分别是AB，PB的中点．

(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，

所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以PE⊥平面ABCD.

又AB∥CD，AB⊥AD，

所以VF-DEC＝VP-DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.