(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第10章 第5讲　离散型随机变量及其分布列 (含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第10章 第5讲　离散型随机变量及其分布列 (含解析)，共16页。试卷主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。
第5讲　离散型随机变量及其分布列


一、知识梳理
1．离散型随机变量
(1)随机变量
特点：随着试验结果的变化而变化的变量．
表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量的特点
所有取值可以一一列举出来．
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②pi＝1.
3．常见的两类特殊分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即：
X
0
1
…
m
P


…

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
常用结论
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、教材衍化
1．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p＝________．
解析：由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
所以p＝1－＝.
答案：
2．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3.
答案：0，1，2，3
3．设随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P

m


则P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(　　)
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
(5)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．(　　)
X
2
5
P
0.3
0.7
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)随机变量的概念不清；
(2)超几何分布类型掌握不准；
(3)分布列的性质不清致误．
1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球　　　　 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C．A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C．
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________．
解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.
答案：
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．
解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.
答案：

考点一　离散型随机变量的分布列的性质(基础型)
在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．
核心素养：数学抽象
设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)P(1＜X≤4)．
【解】　由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.
【迁移探究】　(变问法)在本例条件下，求|X－1|的分布列．
解：|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3

离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．　

1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P

2－3q
q2
则q的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．±
C．－ D．＋
解析：选C．由分布列的性质知
解得q＝－.
2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜X＜)的值为________．
解析：由×a＝1，知a＝1，得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
答案：
考点二　超几何分布(基础型)
通过实例理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
核心素养：数学建模
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
【解】　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





【迁移探究1】　(变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列．
解：由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
因此X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P





【迁移探究2】　(变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列．
解：由题意可知X的取值为3，1，－1，－3，－5，
则P(X＝3)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，P(X＝－3)＝＝，
P(X＝－5)＝＝.
因此X的分布列为
X
3
1
－1
－3
－5
P






(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．
(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．　
　(2020·郑州模拟)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列．
解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，
“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
P(X＝2)＝P(C)＝＝，
P(X＝0)＝P(D)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



考点三　求离散型随机变量的分布列(应用型)
会求取有限个值的离散型随机变量的分布列．
核心素养：数学建模
(2020·安阳模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100)内，且销售量x的分布频率
f(x)＝
(1)求a的值并估计销售量的平均数；
(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率)．
【解】　(1)由题意知
解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，
结合f(x)＝
得＋＋＋＋＝1，则a＝0.15.
可知销售量分别在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，
所以销售量的平均数为55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81.
(2)销售量分布在[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率之比为2∶3∶3，所以在各组抽取的天数分别为2，3，3.
X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝2)＝1－－＝.
X的分布列为
X
1
2
3
P



数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．　
　(2020·广州市综合检测(一))为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围/度
[0，210]
(210，400]
(400，＋∞)
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量/度
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？
(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列．
解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．
(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





[基础题组练]
1．(2020·陕西咸阳模拟)设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，那么a的值为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D．因为随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，所以P(ξ＝0)＝a＝a，P(ξ＝1)＝a＝，P(ξ＝2)＝a＝，所以a＋＋＝1，解得a＝.故选D．
2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：选C．X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选C．
3．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　)
A．
ξ
1
2
3
P



B．
ξ
1
2
3
4
P




C．
ξ
1
2
3
P



D．
ξ
1
2
3
P



解析：选C．随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故选C．
4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：选B．设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.
5．(多选)(2020·山东烟台期中)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道，现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的是(　　)
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为
B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为
D．合格的概率为
解析：选CD．设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，p(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确；故选CD．
6．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________．
解析：由题意知，X服从超几何分布，
其中N＝10，M＝3，n＝4，
故P(X＝2)＝＝.
答案：
7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：
8．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤.
答案：　[－，]
9．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
(2)求随机变量X的分布列．
解：(1)由题意知，x，y可能的取值为1，2，3，
则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，X＝3，因此，随机变量X的最大值为3.
有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，
所以P(X＝3)＝.故随机变量X的最大值为3，事件“X取得最大值”的概率为.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；
当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；
当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；
当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




10.(2020·福州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2020年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
(1)求P(ξ＝3)．
(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列．
解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，
所以P(ξ＝3)＝＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，
P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，
P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝，
P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝，
P(η＝0)＝1－－－＝.
所以η的分布列如下：
η
50
30
10
0
P




[综合题组练]
1．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N*)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进17枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列．
解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝(10－5)×17＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85，所以y关于n的解析式为
y＝(n∈N*)．
(2)X可取55，65，75，85，P(X＝55)＝0.1，P(X＝65)＝0.2，P(X＝75)＝0.16，P (X＝85)＝0.54.
X的分布列为：
X
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
2.(2020·湖南邵阳联考)为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：
到班级宣传
整理、打包衣物
总计
20人
30人
50人
(1)如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．
解：(1)用分层抽样的方法，抽样比是＝，
所以5人中参与班级宣传的志愿者有20×＝2(人)，
参与整理、打包衣物的志愿者有30×＝3(人)，
故所求概率P＝1－＝.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
3．(2020·安徽宿州三调)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．
某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电
量/度
1 000
1 260
1 400
1 824
2 180
2 423
2 815
3 325
4 411
4 600
(1)计算表中编号10的用户该年应交的电费；
(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．
解：(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，
第三档电价比第一档电价每度多0.3元，
编号为10的用户一年的用电量是4 600度，
所以该户该年应交电费
4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯的户数为X，
易知第二阶梯的有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故X的分布列是
X
0
1
2
3
4
P