2023年山东省济宁市邹城市中考数学模拟试卷（四）（6月份）（含解析）

2023年山东省济宁市邹城市中考数学模拟试卷（四）（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列说法中，正确的是(    )

A. 为了解某市中学生的睡眠情况适宜采用全面调查
B. 一组数据，，，，，，的中位数是
C. 明天的降水的概率为，则明天下雨是必然事件
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定

3.  截至年月，中国已建设开通了万个基站，建成全球技术领先、规模最大、用户最多的网络数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是(    )

A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 主视图和左视图

5.  下列计算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，直线，，为直角，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知的顶点，分别在轴，轴上，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，；作直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

9.  如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形与原点重合，再以为腰作等腰直角三角形  以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为(    )




 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在函数中，自变量的取值范围是          ．

12.  如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，则矩形的面积为______．

13.  定义运算：@若，是方程的两根，则@@的值为______ ．

14.  如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是          

 

15.  如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接，当为直角三角形时，的长为        ．

三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）

16.  计算：

17.  如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点且，过点作交延长线于点，垂足为点．
求的值；
证明：是的切线；
若的半径，求的长．

四、解答题（本大题共5小题，共41.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为点的俯角为，方两座建筑物的水平距离，已知乙建筑物的高度为，求甲建筑物的高度，结果保留整数

19.  本小题分
某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图，请根据图中信息完成下列问题：
这次调查的样本容量是______ ，请补全折线统计图；
求体育部分所对应的圆心角度数；
若该学校有人，则喜欢科技课外活动的大约有______ 人；若该学校组建的科技社团要选拔名同学去参加区科技活动竞赛，经过筛选确定名男同学和名女同学去参赛，在竞赛的决赛阶段需要分两个小组展示他们设计的科技成果，求恰好两个女生分到一个组的概率．
 

20.  本小题分
某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有名学生参加，并携带件行李学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．
如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？
如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为元、元，请你选择最省钱的一种租车方案．

21.  本小题分
已知：正方形，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．
当三角板旋转到图的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；
在的条件下，若，，，求的度数；
若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的一边与边重合时如图，若，求的长．

 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于和，与轴交于点，连接，．

求该抛物线的解析式；
如图，点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求周长的最大值；
点为抛物线上的一动点，是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：为了解某市中学生的睡眠情况适宜采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B.一组数据，，，，，，的中位数是，故此选项不符合题意；
C.明天的降水概率为，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意；
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，，，，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：．
分别依据全面调查与抽样调查、中位数、随机事件、概率的意义以及方差的意义进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了全面调查与抽样调查、中位数、随机事件、概率的意义以及方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用整式的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，平方差公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，

，，
，
，
．
故选：．
过点作的平行线，将角度进行转换，利用圆周角为求出的度数即可．
本题考查平行线的性质，能够灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
在中，，
由作法得垂直平分，
，
在中，，
，
，
点坐标为．
故选：．
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再由作法得，利用勾股定理得到，然后求出得到点坐标．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘以得，，
解得．
为正数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且．
故选：．
先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积是解题关键．
连接，，得出是等边三角形，求出和，那么阴影面积，代入计算即可．
【解答】解：如图，连接，，作于点，则．
，，
，，，
，
，
，
，
，
阴影部分面积是：．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【解答】
解：点、、、、在轴上，且，，，
，
，，，
，，

的坐标为
故选：．
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键．
根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律即可得出点的坐标．  

11.【答案】且 

【解析】

【分析】
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
【解答】
解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查反比例函数的几何意义，利用条件用点坐标表示出点坐标是解题的关键．
可设点坐标为，则可表示出点坐标，从而可表示出矩形的面积，利用可求得答案．
【解答】
解：设，
反比例函数的图象经过点，
，
为的中点，
，
，，
，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意：@@



，是方程的两根，
，


原式


故答案为：
先根据定义运算化简@@，再根据根与系数的关系求出、的值，最后把、的值代入化简后的式子得结论．
本题主要考查了整式的运算，掌握根与系数的关系及完全平方公式的变形是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．根据所建坐标系，水平距离就是时离他最远的距离．
【解答】
解：当时，，
，
，
解得：，，
故他距篮筐中心的水平距离是．
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：当为直角三角形时，存在两种情况：
当时，如图，
与关于所在直线对称，
，，
点，分别为，的中点，
、是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
当时，如图，
，
，
与关于所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，的长为或；
故答案为：或．
当为直角三角形时，存在两种情况：当时，如图，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；当时，如图，证明是等腰直角三角形，可得．
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
 

16.【答案】解：原式． 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
设，则，
，
，
，
同理得：，，
，
∽，
，
，
． 

【解析】证明，根据的正切求结论；
连接，证明，由，可得结论；
设，则，求得，证明∽，列比例式可得结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的三角函数值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用三角形相似求解．
 

18.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，，
设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
甲建筑物的高度约为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，列出关于的方程，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：喜欢播音的学生人数为人，占，
人，
这次调查的样本容量是；
调查的样本容量是，
喜欢艺术的学生人数有人，喜欢科技的学生人数为人，
补全折线统计图如图所示，

故答案为：；
由可得为，
体育部分所对应的圆心角度数为；
故体育部分所对应的圆心角度数为；
若该学校有人，喜欢科技课外活动的大约有人；
名男同学和名女同学去参赛，分两个小组展示可以有种可能，分别是男男，女女，男女，男女，男女，男女，
恰好两个女生分到一个组的概率为；
故答案为：．
根据样本容量样本个数总体，即可解答；
根据样本个数所占比样本个数样本容量和扇形统计图圆心角公式为圆心角度数百分比即可解答；
根据样本个数样本容量样本个数所占比和列举法求概率即可解答．
本题主要考查了列表法与树状图法，扇形统计图，折线统计图，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：设安排辆甲型汽车，安排辆乙型汽车，
由题意得解得
整数可取、、．
共有三种方案：
租用甲型汽车辆、乙型汽车辆；
租用甲型汽车辆、乙型汽车辆；
租用甲型汽车辆、乙型汽车辆．
设租车总费用为元，则，
随的增大而增大，
当时，，
最省钱的租车方案是：租用甲型汽车辆、乙型汽车辆． 

【解析】首先根据题意列出不等式组得，解出的取值范围，最后确定的取值，进而确定出具体方案；
首先求出关于租车总费用的函数关系式，再根据一次函数的增减性确定总费用最小的租车方案．
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确地找到不等关系列不等式是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
证明：在正方形，等腰直角三角形中，，，，
，
≌，
，
，，，
，

为直角三角形，

；

是中点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由正方形额等腰直角三角形的性质判断出≌即可；
设，表示出，，，判断出为直角三角形，即可求出；
由，得出，求出，，再判断出∽，得到，求出即可
此题是四边形综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断为直角三角形是解本题的关键，也是难点．
 

22.【答案】解：把和的坐标代入，得到，
解得，
抛物线的解析式为；

由可得，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为，
设，则，
，
轴，轴，
，，
∽，
，即，
，，
周长，
，
当时，周长最大值为；

在轴负半轴上取，使，连接交抛物线于，如图：

，，此时，是满足条件的点，
，，
直线解析式为，
由得或，
，
作关于直线的对称点，连接并延长交抛物线于，由对称性知，是满足条件的点，
设，根据，可得：
，
解得或，
，
由，可得直线解析式为：，
解得或，
，
综上所述，的坐标为或 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
设直线解析式为，用待定系数法得直线解析式为，设，则，即得，可证∽，可得，，
构建二次函数，利用二次函数的性质求解；
在轴负半轴上取，使，连接交抛物线于，此时，是满足条件的点，由，，得直线解析式为，即可解得，作关于直线的对称点，连接并延长交抛物线于，由对称性知，是满足条件的点，设，构建方程组求出点的坐标，可得结论．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．