2023年黑龙江省伊春市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省伊春市中考数学试卷（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省伊春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是(    )
A. (−2a)2=−4a2 B. (a−b)2=a2−b2
C. (−m+2)(−m−2)=m2−4 D. (a5)2=a7
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是(    )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知一组数据1，0，−3，5，x，2，−3的平均数是1，则这组数据的众数是(    )
A. −3 B. 5 C. −3和5 D. 1和3
5. 如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是(    )
A. 5m
B. 70m
C. 5m或70m
D. 10m
6. 已知关于x的分式方程mx−2+1=x2−x的解是非负数.则m的取值范围是(    )
A. m≤2 B. m≥2
C. m≤2且m≠−2 D. m0x−m≤1有3个整数解，则实数m的取值范围是______ ．
16. 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B=28°，则∠P= ______ °.

17. 已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是______ cm．
18. 如图，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是______ ．


19. 矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是______ ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y= 33x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB=2 2，顶点C在直线l2：y= 3x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则
△A2023B2023C2023的面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(1−2m+1)÷m2−2m+1m2−m，其中m=tan60°−1．
22. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1).B(1,−2)，C(3,−3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1BC1；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积(结果保留π)．

23. (本小题6.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点.交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=12S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24. (本小题7.0分)
某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)这次学校抽查的学生人数是______ ；
(2)将条形图补充完整；
(3)扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是______ °；
(4)如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．


25. (本小题8.0分)
已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发23h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中a的值是______ ；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．


26. (本小题8.0分)
如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH.易证：FH= 3FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．


27. (本小题10.0分)
2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
28. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC=60°，OC的长是一元二次方程x2−4x−12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动.两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求直线AD的解析式；
(2)连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形.若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：(−2a)2=4a2，所以A错误；
(a−b)2=a2−2ab+b2，所以B错误；
(−m+2)(−m−2)=m2−4，所以C正确；
(a5)2=a10，所以D错误．
故选：C．
分别对四个选项进行分析．
本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大．

2.【答案】A 
【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、D，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、D不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C不符合题意．
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可得到答案．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．

3.【答案】B 
【解析】解：从俯视图可得最底层有4个小正方体，由左视图可得第二层最少有1个小正方体，最多有3个小正方体，
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少是5个．
故选：B．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．

4.【答案】C 
【解析】解：∵数据1，0，−3，5，x，2，−3的平均数是1，
∴1+0−3+5+x+2−3=7×1，
解得x=5，
则这组数据为1，0，−3，5，5，2，−3，
∴这组数据的众数为−3和5，
故选：C．
先根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解可得．
本题主要考查众数和算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和众数的概念．

5.【答案】A 
【解析】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，
根据题意得：(100−2x)(50−2x)=3600，
整理得：x2−75x+350=0，
解得：x1=5，x2=70(不符合题意，舍去)，
∴小路的宽是5m．
故选：A．
设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：分式方程去分母得：m+x−2=−x，
解得：x=2−m2，
由分式方程的解是非负数，得到2−m2≥0，且2−m2−2≠0，
解得：m≤2且m≠−2，
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，
根据题意得：30×5+25x+20y=500，
∴x=14−45y，
又∵x，y均为正整数，
∴x=10y=5或x=6y=10或x=2y=15，
∴当购买5本A种图书时，有3种采购方案；
当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，
根据题意得：30×6+25m+20n=500，
∴n=16−54m，
又∵m，n均为正整数，
∴m=4n=11或m=8n=6或m=12n=1，
∴当购买6本A种图书时，有3种采购方案．
∴此次采购的方案有3+3=6(种)．
故选：B．
当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出当购买5本A种图书时，有3种采购方案；当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出当购买6本A种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：设BC与y轴的交点为F，B(b,kb)，则A(−b,−kb)，b>0，由题意知，
AO=BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴BE=CE，AE//y轴，
∴CF=3BF=3b，
∴C(−3b,kb)，
∴D(−3b,−k3b)，
∴CD=−4k3b，BC=4b，
∴S△BCD=12BC⋅CD=12⋅4b⋅(−4k3b)=−83k=12，
∴k=−92．
故选：C．
设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k．
对于反比例函数中图形的面积问题，常用一个未知数表示关键点的坐标，通过推导求其面积．

9.【答案】D 
【解析】解：∵矩形ABCD的边AD=5.OA：OD=1：4，
∴OA=1，OD=4，BC=5，
∵AB//OC′，
∴∠ABO=∠D′OC′，
∵∠BAO=∠OD′C′=90°，
∴△AOB∽△D′C′O，
∴OAAB=D′C′OD′，
∵将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，
∴OD′=OD=4，D′C′=DC=AB，
∴1AB=AB4，
∴AB=2(负值舍去)，
∴CD=2，
连接OC，设BC与OC′交于F，
∴OC= OD2+CD2= 42+22=2 5，
∵∠FOA=∠OAB=∠ABF=90°，
∴四边形OABF是矩形，
∴AB=OF=2，∠BFO=90°=∠EFC′，OA=BF=1，
∴CF=5−1=4，
由折叠知，OC′=OC=2 5,EC′=EC=CF−EF=4−EF，
∴C′F=OC′−OF=2 5−2，
∵EF2+C′F2=EC′2，
∴EF2+(2 5−2)2=(4−EF)2，
解得EF= 5−1，
∴E(1− 5,2)，
故选：D．
根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△D′C′O，求出AB=CD=2，连接OC，设BC与OC′交于F，然后求出OC=OC′=2 5，得到C′F=2 5−2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∠ABF=∠DAE=90°∠BFA=∠AEDAB=DA，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AF=DE．
故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM//DE．
故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF+∠CMF=180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°−∠MCF=45°，
由翻折的性质可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC//MH，HB//MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∵BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，如图，

设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt△AED中，
DE= AD2+AE2= 5a=AF，
∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴FHAH=BFAD=a2a=12，
∴AH=23AF=2 53a．
∵∠AGE=∠ABF=90°，∠EAG=∠FAB，
∴△AGE∽△ABF，
∴AEAF=EGBF=AGAB=a 5a= 55，
∴EG= 55BF= 55a，AG= 55AB=2 55a，
∴DG=ED−EG=4 55a，GH=AH−AG=4 515a．
∵∠BHF=∠DHA，
∴在Rt△DGH中，
tan∠BHF=tan∠DHA=DGGH=3，
故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴BHDH=12，
∴BH=13BD=13×2 2a=2 23a，DH=23BD=23×2 2a=4 23a．
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得：EP=2EG=2 55a，
∴EP⋅DH=2 55a⋅4 23a=8 1015a2，2AG⋅BH=2×2 55a⋅2 23a=8 1015a2，
∴EP⋅DH=2AG⋅BH，
故⑤正确．
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．
利用正方形的性质和翻折的性质，对每个选项的结论逐一判断，即可解答．
本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．

11.【答案】5.699×107 
【解析】解：5699万=56990000=5.699×107．
故答案为：5.699×107．
科学记数法的表示形式为“a×10n”的形式，其中1≤|a|