2022-2023学年安徽省安庆市十校联盟九年级（下）第三次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省安庆市十校联盟九年级（下）第三次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据广西壮族自治区统计局消息根据地区生产总值统一核算结果，年全区生产总值亿元，按不变价格计算，比上年增长数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  以下几何体的主视图与左视图不一定相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，，点、分别在边和边上，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，如果，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  为迎接体育中考，九年级班八名同学课间练习垫排球，记录成绩个数如下：，，，，，，，，则这组数据的众数与中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图，中，，点和点分别在、上，若、、，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  分式方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  A、两个蔬菜加工团队同时加工蔬菜，所加工的蔬菜量单位：吨与加工时间单位：天之间的函数关系如图，下列结论正确的是(    )

A. 第天时，团队比团队多加工吨
B. 开工第天时，、团队加工的蔬菜量相同
C. A、团队都加工吨蔬菜时，加工时间相差天
D. 开工第或天时，、团队所加工的蔬菜量之差为吨
 

10.  如图，矩形中，，为上一点不含点，为的中点，连接并延长，交于点，点为上一点，，连接，，甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：存在点，使；
乙：的面积存在最小值．
下列说法正确的是(    )

A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 甲正确，乙不正确 D. 甲不正确，乙正确

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  ______ ．

12.  如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是______ ．

13.  如图，在平面直角坐标系中，将菱形向右平移一定距离后，顶点，恰好均落在反比例函数的图象上，其中点，，且轴，则 ______ ．

14.  如图，中，，，为线段上一动点，连接，绕点顺时针旋转到，连接设，，与的函数关系式是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件．后经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．为使顾客尽可能得到实惠，当每件商品售价定为多少元时，商场经营该商品一天可获利元？

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，
画出向上平移个单位，再向右平移个单位后的；
以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；
的面积为______ ，的坐标为______ ．

17.  本小题分
求不等式组的整数解．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得塔楼顶端点的仰角，台阶长米，台阶坡面的坡度：，然后在点处测得塔楼顶端点的仰角，则塔顶到地面的高度约为多少米．
参考数据：，，，

20.  本小题分
如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
求证：为的切线；
连接，取的中点，连接若，，求的长．

21.  本小题分
某校对九年级学生进行了一次防疫知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班各名学生的竞赛成绩进行整理，描述分析下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图如图所示数据分为组：，，，，，，其中分以及分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，甲、乙两班成级的平均数、中位数、众数和优秀人数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
表中的        ；
在此次竞赛中，你认为甲班和乙班中，        班表现的更优异，理由是        ；
如果该校九年级学生有名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？

22.  本小题分
某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表所示【注：日销售利润日销售量销售单价成本单价】

填空：该商品的成本单价是______ 元，表中的值是______ ．
求该商品日销售利润的最大值．
由于某种原因，该商品进价降低了元件该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价不低于元，日销售量与销售单价仍然满足上表中的函数关系若日销售利润最大是元，求的值．

23.  本小题分
如图，在中，，点，分别为，的中点，连接将绕点逆时针旋转，连接并延长与直线交于点．

若，将绕点逆时针旋转至图所示的位置，则线段与的数量关系是        ；
若，将绕点逆时针旋转，则的结论是否仍然成立？若成立，请就图所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
若，，将旋转至时，请求出此时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的意义，乘积是的两个数互为倒数，没有倒数，求一个数的倒数，把这个数的分子和分母掉换位置即可．
此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用，明确：的倒数是，没有倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、应为，故本选项不符合题意；
B、应为，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、应为，故本选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的除法：底数不变，指数相减；合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变；幂的乘方：底数不变，指数相乘；完全平方公式：；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题综合考查了整式运算的多个知识点，包括合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
 

4.【答案】 

【解析】解：、该圆柱的主视图、左视图都是矩形，不一定相同，故A不符合题意，
B、该圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，故B不符合题意；
C、该立方体的主视图都是正方形，故C不符合题意；
D、该三棱柱主视图、左视图都是矩形，但主视图的矩形较大，故D符合题意；
故选：．
根据常见简单几何体的三视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于，

，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
故选：．
过点作于，先求出，则，设，则，在中，利用勾股定理求解即可．
本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将数据从小到大排列为：，，，，，，，，
众数为；
中位数为．
故选：．
先将数据从小到大重新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积求出的长即可．
本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】
解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由函数图象易求得：团队在的时段内，与之间的函数关系式是；
团队在的时段内，与之间的函数关系式是，
当时，，，团队比团队少加工吨，故选项A不合题意；
当，解得，即开工天后，，团队加工的蔬菜量相同，选项B不合题意；
当时，，
得；
，
得，
，即，团队都加工吨蔬菜时，加工时间相差天，选项C不合题意；
当团队比团队多加工吨时，则，
得；
当团队比团队少加工吨时，，
解得，即第或天时，、团队所加工的蔬菜量之差为吨，故选项D合题意；
故选：．
求出两个团队的函数解析式，计算时的函数值判断选项A；由函数值相等求出值判断；求出的值判断；令函数值相减等于求出值判断．
此题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，结合函数图象分析是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：假设存在点，使，如图，连接，

四边形是矩形，且是的中点，
，，，三点共线，且是的中点，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
，
，
不存在点，使，即甲的结论不正确；
设，，，则，，，，




，
当时，有最小值，即乙的结论正确；
故选：．
假设存在点，使，如图，连接，先证明≌，得出，进而得出，再证明≌，得出，进而得出，这与已知相矛盾，即可得出不存在点，使，即甲的结论不正确；设，，，则，，，，进而得出，得出当时，有最小值，即乙的结论正确；即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值等知识点是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．
本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
，
的周长，
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，轴，
，
，，
，
，
，．
将菱形向右平移个单位长度，则平移后点和的坐标分别为、，
平移后的点，恰好同时落在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
故答案为：．
根据点、的坐标可得点的坐标，根据平移方法可得平移后点和的坐标分别为、，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，解方程即可求出的值，进而求得的值．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化平移，待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握反比例函数图象上的点横纵坐标之积等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，延长至点，使，连接，

，，
为等边三角形，
，，
由旋转可知，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：
根据题意作出辅助线，构造出为等边三角形，然后利用旋转的性质可证出≌，推出，利用三角函数求出的长，然后利用三线合一证出，即可写出与的函数关系式．
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的性质与判定，解题关键：一是作出辅助线，二是证出．
 

15.【答案】解：设该商品每件降价元，商场一天可获利润元，
依题意得：
，
解得：，．
要使顾客尽可能得到实惠，
，
每件商品售价应定为元，
答：商店经营该商品一天要获利润元，每件商品售价定为元． 

【解析】设该商品每件降价元，商场一天可获利润元，则可列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图，为所作；

如图，为所作；
的面积；
由图可知：的坐标为，
故答案为：，．
先将点、、按照题意进行平移，再依次连接即可；
延长，使，延长，使，最后连接即可；
先画出图形，再根据三角形的面积公式即可求出，根据图形即可得出的坐标即可．
本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
 

17.【答案】解：，
由得：，
由得，
不等式组的解集为：，
则该不等式的整数解为，，，． 

【解析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间确定不等式的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
 

18.【答案】解：

，
当时，
原式． 

【解析】将括号内的部分通分，计算加法，再将除法转化为乘法，约分计算，最后将值代入计算即可．
此题考查了分式的化简求值，分母有理化，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
 

19.【答案】解：如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，

，，
由：，可以假设，，
，
，
或负舍去，
，，
设米，米，
，，
，即，
，，
，
由得米，米，
答：塔顶到地面的高度约为米． 

【解析】如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，设，，构建方程组求解．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
 

20.【答案】证明：如图，连接，．

，
．
，
．
，
．
是的直径，是的中点，
．
．
，即．
．
是半径，
为的切线．
解：如图，连接，过作，垂足为．

是的直径，
，
．
，
．
，
．
，
∽，
，，
，，
，
，解得，
设的半径为，则．
解之得．
，
．
，
．
．
∽
．
为中点，
．
，．
．
． 

【解析】连接，由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线；
连接，过作，垂足为利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则在中，勾股定理求得，证明，得出∽，根据，求得，，进而求得，根据勾股定理即可求得．
本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
 

21.【答案】  甲  甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高 

【解析】解：由题意可知甲班的中位数是从小到大排列后的第个和个数据的平均数，即，
故答案为：；
甲班成绩优异，理由是：甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高；
故答案为：甲；甲班的平均分中位数、众数比乙班的平均分中位数、众数高．
由题意得：人，
答：该校九年级名学生中成绩优秀的大约有人．
根据甲班的中位数是从小到大排列后的第个和个数据的平均数进行求解即可；
根据各统计量进行分析解答即可；
根据样本估计总体，用该校九年级总人数乘以抽取学生中优秀人数的占比即可求解．
此题考查了频数分别直方图、平均数、中位数、众数、样本估计总体等知识，读懂题意，准确求解是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：设该产品的成本单价是元，
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为；，；
设日销售量件与销售单价元之间满足的一次函数关系为，
把，代入得，
解得：，
一次函数解析式为，
根据题意，得，
，
，
，抛物线开口向下，
当时，最大，最大值为．
设利润为元，根据题意可得：
，
，
销售单价不低于元，即，
，
对称轴为：，
，
，且开口向下，
随的增大而减小，
当时，取最大值为，
，
．
根据日销售利润日销售量销售单价成本单价即可求解；
根据二次函数的顶点式即可求解；
根据日销售利润日销售量销售单价成本单价，把销售的最大利润代入即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
 

23.【答案】 

【解析】解：，点，分别为，的中点，
，
，
，
，
≌，
；
故答案为：；
此时的结论不成立，与的数量关系为．
理由如下：点，分别为，的中点，
，，
，
，
，
∽．
，
；
，
，
在中，，
由知，∽，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
．
根据题意易得，然后可证≌，进而问题可求解；
由题意易得，，然后可得∽，进而问题可求解；
由题意易得，根据勾股定理可得，然后由可求得，进而问题可求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．