河北省邢台市部分学校2022-2023学年高一数学下学期第三次月考试题（Word版附解析）

2022~2023学年高一（下）第三次月考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第十章.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（    ）

A. 个体 B. 总体 C. 样本 D. 样本量

【答案】B

【解析】

【分析】根据总体的定义可得答案.

【详解】这5万名高中生的身高的全体是指总体.

故选：B.

2. 已知集合是四棱柱是长方体是直四棱柱是正四棱柱，集合之间的关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】依四棱柱､直四棱柱､正四棱柱和长方体的定义可得答案.

【详解】依四棱柱､直四棱柱､正四棱柱和长方体的定义，

可得.

故选：A.

3. 若纯虚数满足，则实数的值为（    ）

A. 1 B. -1 C. 0 D. ±1

【答案】B

【解析】

【分析】设出纯虚数，利用乘法运算及复数相等列方程，求解即可.

【详解】设，由，可得，所以，解得.

故选：B

4. 已知数据是某市个普通职工的年收入（单位：元），若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（    ）

A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差

【答案】B

【解析】

【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解即可.

【详解】由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变.

故选：B.

5. 已知为坐标原点，，若点是上靠近点的三等分点，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】设，进而结合求得，再计算数量积即可.

【详解】设，则，

因为点是上靠近点的三等分点，

所以，

所以，，即

所以，.

故选：A

6. 已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数和方差的计算公式即可得到新的平均数和方差.

【详解】平均数，

方差为

，

故选：C.

7. 七巧板，又称七巧图､智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明､清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，木板形状包括个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形.若该同学从块木板中任意取出块，则这块木板全等的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意首先求出所有的取法数，再求出取出块木板全等的取法，最后根据古典概型的概率公式计算即可.

【详解】依题意从块木板中任意取出块的取法有种，

这块木板全等的取法有种，故所求的概率是.

故选：C

8. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，设事件表示随机事件“和都是奇数”，事件表示随机事件“和中至少有一个是奇数”，事件表示随机事件“和都是偶数”，现有下列4个结论：

①；

②；

③；

④.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④

【答案】A

【解析】

【分析】由和事件、积事件的含义及其概率公式即可求解.

【详解】由题可知，即，

所以.

故选：A

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 对某地区2023年的学生人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年级学生人数最多，八年级学生人数最少，七年级学生人数约为1.2万，则（    ）

A. 该地区2023年的学生人数约为15万

B. 该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多

C. 该地区2023年小学生的人数比初中生､高中生和大学生的人数之和还多

D. 该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为

【答案】AB

【解析】

【分析】根据扇形统计图表中的数据，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】根据扇形统计图表，可得该地区2023年的学生人数约为万，所以A正确；

该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多，所以B正确；

该地区2023年小学生的人数少于初中生､高中生和大学生的人数之和，所以C不正确；

该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为，所以D不正确.

故选：AB.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 事件“若，则”是不可能事件

B. 已知某兴趣小组有11人，事件“该兴趣小组中至少有两人生肖相同”是必然事件

C. 现有分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件

D. 现有分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，利用正弦函数的值域即可判断；对于B，利用必然事件的定义即可判断；对于C，利用互斥事件的定义即可判断，对于D，利用互斥事件和对立事件的定义即可判断.

【详解】对于A，因为，所以事件“若，则”是不可能事件，故A正确；

对于B，某兴趣小组有11人，根据必然事件的定义可知，

事件“该兴趣小组中至少有两人生肖相同”不是必然事件，故B错误；

对于C，分别写有数字1，2，3，4，5的五张白色卡片､五张黄色卡片，

根据互斥事件的定义可知，从中抽取两张卡片，

事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件，故C正确；

对于D，分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，

根据互斥事件和对立事件的定义可知，从中抽取两张卡片，

事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件，故D正确.

故选：ACD.

11. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，点为空间中一点，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，则

C. 若，，，则过点只能作一条同时与，都平行的直线

D. 若直线与平面所成的角为，则过点恰好能作两条与直线和平面所成角都是的直线

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A，B，C通过空间中平行与垂直的关系可一一判断正误，选项D中通过过点与直线和平面所成角都是的射线的轨迹形成两个相交的圆锥，即可判断这样的直线有两条.

【详解】对于选项A，若，，则与平行､相交或异面，选项A错误；

对于选项B，若，，由线面垂直的性质可知，，选项B正确；

对于选项C，若过点所作的直线同时与，都平行，

则这条直线必与平行，故只有一条，选项C正确；

对于选项D，过点分别作与直线和平面所成角是的射线，

所有射线形成两个圆锥，因为直线与平面所成的角为，

所以两圆锥侧面相交，交线有两条，选项D正确.

故选：BCD.

12. 袋中装有3个红球和2个蓝球，这5个球除颜色外完全相同.从袋中不放回地依次摸取3个，每次摸1个，则（    ）

A. “第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”的概率相等

B. “第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”互为独立事件

C. “第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率相等

D. “三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”互为独立事件

【答案】AC

【解析】

【分析】求出“第一次取到的是红球”和“第二次取到的是红球”的概率可判断A；结合独立事件的定义可判断B；求出“第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率可判断C；求出“三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，结合独立事件的定义可判断D.

【详解】“第一次取到的是红球”的概率，

“第二次取到的是红球”的概率，

“第一次和第二次取到的都是红球”的概率，

所以，故A正确，B错误.

“第二次取到的是蓝球”的概率为，

“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故C正确.

“三次取到的都是红球”的概率，

“三次取到的都是红球且第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故D错误.

故选：AC.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 为了解某校老年､中年和青年教师的身体状况，已知老年､中年､青年人数之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中老年教师有12人，则样本容量__________.

【答案】44

【解析】

【分析】根据给定的信息，利用分层抽样各层的比，列式计算作答.

【详解】依题意，，解得，

所以样本容量为44.

故答案为：44

14. 某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为__________.

【答案】##0.32

【解析】

【分析】要使电路正常，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，利用独立事件的概率公式求概率即可.

【详解】要使电路正常运行，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，

所以电路正常运行的概率为.

故答案为：.

15. 互不相等的5个正整数从小到大排序为，若它们的和为25，且其分位数是分位数的1.5倍，则的值可以为__________.（写出一个满足条件的即可）

【答案】8（或11或12，写对一个即可）

【解析】

【分析】这组数据的分位数为，这组数据的分位数为，据题意，再根据可得，对分情况讨论可得答案.

【详解】这组数据的分位数为，这组数据的分位数为，

据题意有，即，

因为，即，所以.

若，则，无法找到满足题意的和；

若，则，可得，所以，则或；

若，则，可得，所以，则.

故的值为8或11或12.

故答案为： 8（或11或12写对一个即可）.

16. 在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为和的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】作出辅助线，找到球心的位置，结合题目条件求出半径，得到答案.

【详解】如图，取为的中点，连接，

则四边形为矩形，故四点共圆.

因为底面是边长为2的正方形，分别为和的中点，

所以，，

，所以，

即为直角三角形，又平面，

所以三棱锥外接球的球心即四边形的外心，

设三棱锥的外接球半径为，

则，

故所求外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知复数

（1）求；

（2）若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，求得，进而求得的值；

（2）根据题意，设，结合，列出方程求得，进而求得复数.

【小问1详解】

解：由复数，可得，

所以.

【小问2详解】

解：由题意，可得，

因为复数的虚部等于复数的虚部，可设，

又，可得，解得或，

又因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，故.

18. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组（分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B））给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打出的分数，绘制出如图所示的折线图.

（1）分别计算小组A和小组B打分的平均数和方差；

（2）计算该选手所有分数的平均数和方差.

【答案】（1）平均数9；8；方差   

（2）平均数，方差

【解析】

【分析】（1）运用平均数、方差公式计算即可.

（2）运用分层抽样的平均数、方差公式计算即可.

小问1详解】

小组A打分的平均数，

小组B打分的平均数，

小组A打分的方差，

小组B打分的方差.

小问2详解】

该选手所有分数的平均数，

该选手所有分数的方差.

19. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数；

（2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率.

【答案】（1），第百分位数为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，再利用百分位数的定义可求得该样本数据的第百分位数；

（2）分析可知，按分层随机抽样的方法选取人，上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.

【小问1详解】

解：，解得.

设样本数据的第百分位数为，

因为样本数据在的频率为，

样本数据在的频率为，

则，所以，解得，

故估计样本数据的第百分位数为.

【小问2详解】

解：上周体育锻炼时间在的频数为，

上周体育锻炼时间在的频数为，

按分层随机抽样的方法选取人，

则上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，

体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，

所以从这人中随机抽取人的情况有、、、、、、、、

、，共种，

其中，事件“所抽取的人上周体育锻炼时间都不低于小时”包含的情况有、

、，共种，

则所求的概率.

20. 在中，角所对的边分别为.

（1）求的大小；

（2）若，点满足，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角函数同角关系式求解；

（2）由正弦定理得，由，可得，两边平方后结合数量积运算求得，利用三角形面积公式求得结果.

【小问1详解】

因为，

所以，

又，所以，

结合，解得，

因为，所以．

【小问2详解】

因，所以．

由，可得，

则，

即，解得．

所以的面积为．

21. 如图，在直四棱柱中，，底面是直角梯形，，，，，，点为上一点，且．

（1）证明：平面平面．

（2）点是上一点，且平面，求四面体的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证明平面，再结合直四棱柱的性质根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面；

（2）根据面面平行的判定定理可确定，再由锥体体积公式即可求得四面体的体积为.

【小问1详解】

证明：因为，所以，，

又，所以四边形为矩形，即．

由题可知平面，平面，所以，

又，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

【小问2详解】

作，交于点，连接，如下图所示：

易知，则，即可得；

因为平面平面，所以平面，

因为平面，又，所以平面平面．

平面平面，平面平面，所以．

因为，所以．

又易知平面，则平面，所以即为四面体的高；

所以四面体的体积为．

22. 在平面直角坐标系中，位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向只能是向上､向下､向左､向右，并且向上､向下移动的概率都是，向左移动的概率为，向右移动的概率为.

（1）若，点移动两次后，求点位于的概率；

（2）点移动三次后，点位于的概率为，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，计算概率得到答案.

（2）可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，确定，计算最值得到答案.

【小问1详解】

点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，概率

【小问2详解】

可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，

故，

.