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专题03 分式与二次根式-2023年中考数学分项汇编（全国通用）
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这是一份专题03 分式与二次根式-2023年中考数学分项汇编（全国通用），共35页。试卷主要包含了计算的结果为，化简的结果是，若分式有意义，则的取值范围是，计算的结果等于，分式的值为0，则的值是，已知，计算的值是，下列运算正确的个数是等内容，欢迎下载使用。
专题03 分式与二次根式-2023年中考数学分项汇编（全国通用）
一．选择题（共18小题）
1．（2023•广东）计算的结果为
A． B． C． D．
2．（2023•河南）化简的结果是
A．0 B．1 C． D．
3．（2023•广西）若分式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2023•河北）化简的结果是
A． B． C． D．
5．（2023•天津）计算的结果等于
A． B． C． D．
6．（2023•凉山州）分式的值为0，则的值是
A．0 B． C．1 D．0或1
7．（2023•济宁）已知一列均不为1的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是
A． B． C． D．2
8．（2023•武汉）已知，计算的值是
A．1 B． C．2 D．
9．（2023•内江）对于正数，规定，例如：（2），，（3），，计算：（1）（2）（3）
A．199 B．200 C．201 D．202
10．（2023•宜昌）下列运算正确的个数是
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2023•河北）若，，则
A．2 B．4 C． D．
12．（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
13．（2023•江西）若有意义，则的值可以是
A． B．0 C．2 D．6
14．（2023•巴中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
15．（2023•金华）要使有意义，则的值可以是
A．0 B． C． D．2
16．（2023•济宁）若代数式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
17．（2023•岳阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是
A．， B．， C．， D．，
18．（2023•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共21小题）
19．（2023•上海）化简：的结果为 ．
20．（2023•南充）若，则的值为 ．
21．（2023•绥化）化简： ．
22．（2023•岳阳）已知，则代数式的值为 ．
23．（2023•新疆）要使分式有意义，则需满足的条件是 ．
24．（2023•自贡）化简： ．
25．（2023•福建）已知，且，则的值为 ．
26．（2023•宁波）要使分式有意义，的取值应满足 ．
27．（2023•成都）若，则代数式的值为 ．
28．（2023•广东）计算： ．
29．（2023•连云港）计算： ．
30．（2023•苏州）若有意义，则的取值范围是 ．
31．（2023•常德）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ．
32．（2023•聊城）计算： ．
33．（2023•杭州）计算： ．
34．（2023•广元）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
35．（2023•山西）计算：的结果为 ．
36．（2023•怀化）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
37．（2023•绥化）若式子有意义，则的取值范围是 ．
38．（2023•天津）计算的结果为 ．
39．（2023•永州）已知为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的值是 ．
三．解答题（共21小题）
40．（2023•湖北）化简；．
41．（2023•江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
42．（2023•常德）先化简，再求值：，其中．
43．（2023•菏泽）先化简，再求值：，其中，满足．
44．（2023•深圳）先化简，再求值：，其中．
45．（2023•株洲）先化简，再求值：，其中．
46．（2023•聊城）先化简，再求值：，其中．
47．（2023•郴州）先化简，再求值：，其中．
48．（2023•宜昌）先化简，再求值：，其中．
49．（2023•十堰）化简：．
50．（2023•滨州）先化简，再求值：，其中满足．
51．（2023•陕西）化简：．
52．（2023•苏州）先化简，再求值：，其中．
53．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
54．（2023•永州）先化简，再求值：，其中．
55．（2023•烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
56．（2023•怀化）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值．
57．（2023•福建）先化简，再求值：，其中．
58．（2023•随州）先化简，再求值：，其中．
59．（2023•金昌）计算：．
60．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，，，且，求的值．
参考答案
一．选择题（共18小题）
1．（2023•广东）计算的结果为
A． B． C． D．
【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．
【解答】解：
．
故本题选：．
【点评】本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．
2．（2023•河南）化简的结果是
A．0 B．1 C． D．
【分析】根据分式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式．
故选：．
【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键．
3．（2023•广西）若分式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：分式有意义，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4．（2023•河北）化简的结果是
A． B． C． D．
【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．
5．（2023•天津）计算的结果等于
A． B． C． D．
【分析】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可．
6．（2023•凉山州）分式的值为0，则的值是
A．0 B． C．1 D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
7．（2023•济宁）已知一列均不为1的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是
A． B． C． D．2
【分析】通过分别计算，，，，，的值归纳出的值出现规律进行求解．
【解答】解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
的值按照2，，，，次一个循环周期的规律出现，
，
的值是，
故选：．
【点评】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现的规律．
8．（2023•武汉）已知，计算的值是
A．1 B． C．2 D．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，继而可得答案．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
故选：．
【点评】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
9．（2023•内江）对于正数，规定，例如：（2），，（3），，计算：（1）（2）（3）
A．199 B．200 C．201 D．202
【分析】分别计算（1），（2），（3），，，，，相加后可解答．
【解答】解：（1），（2），，（3），，（4），，，，，
（2），（3），（4），，，
（1）（2）（3）
．
故选：．
【点评】本题考查了新定义，数字类规律问题，根据代入求值并找出规律是解本题的关键．
10．（2023•宜昌）下列运算正确的个数是
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：①，故此选项符合题意；
②，故此选项符合题意；
③，故此选项符合题意；
④，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
11．（2023•河北）若，，则
A．2 B．4 C． D．
【分析】把、的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．
【解答】解：．，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
．，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
．，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13．（2023•江西）若有意义，则的值可以是
A． B．0 C．2 D．6
【分析】直接利用二次根式的定义得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：有意义，
则，
解得：，
故的值可以是6．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
14．（2023•巴中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．
【解答】解：、与，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
、，计算正确，符合题意；
、，故本选项计算错误，不符合题意；
、当时，，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质，掌握相关的运算法则和性质是解题的关键．
15．（2023•金华）要使有意义，则的值可以是
A．0 B． C． D．2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
则的值可以是2，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
16．（2023•济宁）若代数式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
【分析】根据分式的分母不能为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得且，
解得且，
故选：．
【点评】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
17．（2023•岳阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．
【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是，，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
18．（2023•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
二．填空题（共21小题）
19．（2023•上海）化简：的结果为 2 ．
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20．（2023•南充）若，则的值为 ．
【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0．
【解答】解：根据题意，得且，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
21．（2023•绥化）化简： ．
【分析】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】此题考查了分式混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
22．（2023•岳阳）已知，则代数式的值为 ．
【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
23．（2023•新疆）要使分式有意义，则需满足的条件是 ．
【分析】根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
24．（2023•自贡）化简： ．
【分析】将分子因式分解后，利用分式的基本性质约分即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的约分，利用因式分解法将分子变形是解题的关键．
25．（2023•福建）已知，且，则的值为 1 ．
【分析】根据，可得，再代入即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
26．（2023•宁波）要使分式有意义，的取值应满足 ．
【分析】当分母不等于0时，分式有意义．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握解不等式的方法是解题的关键．
27．（2023•成都）若，则代数式的值为 ．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
，
，
，
，
当时，原式．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
28．（2023•广东）计算： 6 ．
【分析】本题考查二次根式的乘法计算，根据和进行计算，
【解答】解：方法一：
．
方法二：
．
故答案为：6．
【点评】本题考查二次根式的计算，考查的关键是准确运用和进计算．
29．（2023•连云港）计算： 5 ．
【分析】，据此即可求得答案．
【解答】解：，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
30．（2023•苏州）若有意义，则的取值范围是 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
，
解得，；
故答案是：．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
31．（2023•常德）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
32．（2023•聊城）计算： 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
33．（2023•杭州）计算： ．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
34．（2023•广元）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
35．（2023•山西）计算：的结果为 3 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
36．（2023•怀化）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
【分析】根据代数式有意义，可得，进一步求解即可．
【解答】解：代数式有意义，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
37．（2023•绥化）若式子有意义，则的取值范围是 且 ．
【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得且，
解得且，
故答案为：且．
【点评】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
38．（2023•天津）计算的结果为 1 ．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
39．（2023•永州）已知为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的值是 1（答案也可以是 ．
【分析】根据二次根式没有意义即被开方数小于0求解即可．
【解答】解：要使在实数范围内没有意义，
则，
，
为正整数，
的值是1（答案也可以是．
故答案为：1（答案也可以是．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，则，若没有意义，则．本题较简单，属于基础题．
三．解答题（共21小题）
40．（2023•湖北）化简；．
【分析】直接利用分式的加减运算法则，再结合分式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
41．（2023•江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ② ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
．
【点评】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
42．（2023•常德）先化简，再求值：，其中．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
，
当时，
原式
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
43．（2023•菏泽）先化简，再求值：，其中，满足．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
，
，
，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
44．（2023•深圳）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
45．（2023•株洲）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
46．（2023•聊城）先化简，再求值：，其中．
【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
47．（2023•郴州）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
48．（2023•宜昌）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
49．（2023•十堰）化简：．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
50．（2023•滨州）先化简，再求值：，其中满足．
【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．
【解答】解：原式
，
，
，
，
原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
51．（2023•陕西）化简：．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
52．（2023•苏州）先化简，再求值：，其中．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
53．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．
【解答】解：
，
，，
，，
，
原式
．
【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出，．
54．（2023•永州）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
【解答】解：
，
当时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
55．（2023•烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
，
解得：，
是使不等式成立的正整数，且，，
，
原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键．
56．（2023•怀化）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当或2时，分式无意义，
故当时，原式，
当时，原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
57．（2023•福建）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当 时，
原式
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
58．（2023•随州）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
59．（2023•金昌）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
60．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，，，且，求的值．
【分析】（1）把，代入，，计算即可得到结论；
（2）根据（1）的结论化简即可；
（3）化简后，代入数值计算即可．
【解答】解：
，
当，时，；
，
当，时，；
故答案为：；；
（2）；
证明：
；
（3）当，时，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
专题03 分式与二次根式-2023年中考数学分项汇编（全国通用）
一．选择题（共18小题）
1．（2023•广东）计算的结果为
A． B． C． D．
2．（2023•河南）化简的结果是
A．0 B．1 C． D．
3．（2023•广西）若分式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2023•河北）化简的结果是
A． B． C． D．
5．（2023•天津）计算的结果等于
A． B． C． D．
6．（2023•凉山州）分式的值为0，则的值是
A．0 B． C．1 D．0或1
7．（2023•济宁）已知一列均不为1的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是
A． B． C． D．2
8．（2023•武汉）已知，计算的值是
A．1 B． C．2 D．
9．（2023•内江）对于正数，规定，例如：（2），，（3），，计算：（1）（2）（3）
A．199 B．200 C．201 D．202
10．（2023•宜昌）下列运算正确的个数是
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2023•河北）若，，则
A．2 B．4 C． D．
12．（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
13．（2023•江西）若有意义，则的值可以是
A． B．0 C．2 D．6
14．（2023•巴中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
15．（2023•金华）要使有意义，则的值可以是
A．0 B． C． D．2
16．（2023•济宁）若代数式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
17．（2023•岳阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是
A．， B．， C．， D．，
18．（2023•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共21小题）
19．（2023•上海）化简：的结果为 ．
20．（2023•南充）若，则的值为 ．
21．（2023•绥化）化简： ．
22．（2023•岳阳）已知，则代数式的值为 ．
23．（2023•新疆）要使分式有意义，则需满足的条件是 ．
24．（2023•自贡）化简： ．
25．（2023•福建）已知，且，则的值为 ．
26．（2023•宁波）要使分式有意义，的取值应满足 ．
27．（2023•成都）若，则代数式的值为 ．
28．（2023•广东）计算： ．
29．（2023•连云港）计算： ．
30．（2023•苏州）若有意义，则的取值范围是 ．
31．（2023•常德）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ．
32．（2023•聊城）计算： ．
33．（2023•杭州）计算： ．
34．（2023•广元）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
35．（2023•山西）计算：的结果为 ．
36．（2023•怀化）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
37．（2023•绥化）若式子有意义，则的取值范围是 ．
38．（2023•天津）计算的结果为 ．
39．（2023•永州）已知为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的值是 ．
三．解答题（共21小题）
40．（2023•湖北）化简；．
41．（2023•江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
42．（2023•常德）先化简，再求值：，其中．
43．（2023•菏泽）先化简，再求值：，其中，满足．
44．（2023•深圳）先化简，再求值：，其中．
45．（2023•株洲）先化简，再求值：，其中．
46．（2023•聊城）先化简，再求值：，其中．
47．（2023•郴州）先化简，再求值：，其中．
48．（2023•宜昌）先化简，再求值：，其中．
49．（2023•十堰）化简：．
50．（2023•滨州）先化简，再求值：，其中满足．
51．（2023•陕西）化简：．
52．（2023•苏州）先化简，再求值：，其中．
53．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
54．（2023•永州）先化简，再求值：，其中．
55．（2023•烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
56．（2023•怀化）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值．
57．（2023•福建）先化简，再求值：，其中．
58．（2023•随州）先化简，再求值：，其中．
59．（2023•金昌）计算：．
60．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，，，且，求的值．
参考答案
一．选择题（共18小题）
1．（2023•广东）计算的结果为
A． B． C． D．
【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．
【解答】解：
．
故本题选：．
【点评】本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．
2．（2023•河南）化简的结果是
A．0 B．1 C． D．
【分析】根据分式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式．
故选：．
【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键．
3．（2023•广西）若分式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：分式有意义，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4．（2023•河北）化简的结果是
A． B． C． D．
【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．
5．（2023•天津）计算的结果等于
A． B． C． D．
【分析】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可．
6．（2023•凉山州）分式的值为0，则的值是
A．0 B． C．1 D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
7．（2023•济宁）已知一列均不为1的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是
A． B． C． D．2
【分析】通过分别计算，，，，，的值归纳出的值出现规律进行求解．
【解答】解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
的值按照2，，，，次一个循环周期的规律出现，
，
的值是，
故选：．
【点评】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现的规律．
8．（2023•武汉）已知，计算的值是
A．1 B． C．2 D．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，继而可得答案．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
故选：．
【点评】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
9．（2023•内江）对于正数，规定，例如：（2），，（3），，计算：（1）（2）（3）
A．199 B．200 C．201 D．202
【分析】分别计算（1），（2），（3），，，，，相加后可解答．
【解答】解：（1），（2），，（3），，（4），，，，，
（2），（3），（4），，，
（1）（2）（3）
．
故选：．
【点评】本题考查了新定义，数字类规律问题，根据代入求值并找出规律是解本题的关键．
10．（2023•宜昌）下列运算正确的个数是
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：①，故此选项符合题意；
②，故此选项符合题意；
③，故此选项符合题意；
④，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
11．（2023•河北）若，，则
A．2 B．4 C． D．
【分析】把、的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．
【解答】解：．，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
．，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
．，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13．（2023•江西）若有意义，则的值可以是
A． B．0 C．2 D．6
【分析】直接利用二次根式的定义得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：有意义，
则，
解得：，
故的值可以是6．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
14．（2023•巴中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．
【解答】解：、与，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
、，计算正确，符合题意；
、，故本选项计算错误，不符合题意；
、当时，，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质，掌握相关的运算法则和性质是解题的关键．
15．（2023•金华）要使有意义，则的值可以是
A．0 B． C． D．2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
则的值可以是2，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
16．（2023•济宁）若代数式有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
【分析】根据分式的分母不能为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得且，
解得且，
故选：．
【点评】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
17．（2023•岳阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．
【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是，，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
18．（2023•大连）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
二．填空题（共21小题）
19．（2023•上海）化简：的结果为 2 ．
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20．（2023•南充）若，则的值为 ．
【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0．
【解答】解：根据题意，得且，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
21．（2023•绥化）化简： ．
【分析】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】此题考查了分式混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
22．（2023•岳阳）已知，则代数式的值为 ．
【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
23．（2023•新疆）要使分式有意义，则需满足的条件是 ．
【分析】根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
24．（2023•自贡）化简： ．
【分析】将分子因式分解后，利用分式的基本性质约分即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的约分，利用因式分解法将分子变形是解题的关键．
25．（2023•福建）已知，且，则的值为 1 ．
【分析】根据，可得，再代入即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
26．（2023•宁波）要使分式有意义，的取值应满足 ．
【分析】当分母不等于0时，分式有意义．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握解不等式的方法是解题的关键．
27．（2023•成都）若，则代数式的值为 ．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
，
，
，
，
当时，原式．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
28．（2023•广东）计算： 6 ．
【分析】本题考查二次根式的乘法计算，根据和进行计算，
【解答】解：方法一：
．
方法二：
．
故答案为：6．
【点评】本题考查二次根式的计算，考查的关键是准确运用和进计算．
29．（2023•连云港）计算： 5 ．
【分析】，据此即可求得答案．
【解答】解：，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
30．（2023•苏州）若有意义，则的取值范围是 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
，
解得，；
故答案是：．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
31．（2023•常德）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
32．（2023•聊城）计算： 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
33．（2023•杭州）计算： ．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
34．（2023•广元）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
35．（2023•山西）计算：的结果为 3 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
36．（2023•怀化）要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
【分析】根据代数式有意义，可得，进一步求解即可．
【解答】解：代数式有意义，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
37．（2023•绥化）若式子有意义，则的取值范围是 且 ．
【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得且，
解得且，
故答案为：且．
【点评】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
38．（2023•天津）计算的结果为 1 ．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
39．（2023•永州）已知为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的值是 1（答案也可以是 ．
【分析】根据二次根式没有意义即被开方数小于0求解即可．
【解答】解：要使在实数范围内没有意义，
则，
，
为正整数，
的值是1（答案也可以是．
故答案为：1（答案也可以是．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，则，若没有意义，则．本题较简单，属于基础题．
三．解答题（共21小题）
40．（2023•湖北）化简；．
【分析】直接利用分式的加减运算法则，再结合分式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
41．（2023•江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ② ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
．
【点评】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
42．（2023•常德）先化简，再求值：，其中．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
，
当时，
原式
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
43．（2023•菏泽）先化简，再求值：，其中，满足．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
，
，
，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
44．（2023•深圳）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
45．（2023•株洲）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
46．（2023•聊城）先化简，再求值：，其中．
【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
47．（2023•郴州）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
48．（2023•宜昌）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
49．（2023•十堰）化简：．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
50．（2023•滨州）先化简，再求值：，其中满足．
【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．
【解答】解：原式
，
，
，
，
原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
51．（2023•陕西）化简：．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
52．（2023•苏州）先化简，再求值：，其中．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
53．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．
【解答】解：
，
，，
，，
，
原式
．
【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出，．
54．（2023•永州）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
【解答】解：
，
当时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
55．（2023•烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
，
解得：，
是使不等式成立的正整数，且，，
，
原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键．
56．（2023•怀化）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当或2时，分式无意义，
故当时，原式，
当时，原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
57．（2023•福建）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当 时，
原式
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
58．（2023•随州）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
59．（2023•金昌）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
60．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，，，且，求的值．
【分析】（1）把，代入，，计算即可得到结论；
（2）根据（1）的结论化简即可；
（3）化简后，代入数值计算即可．
【解答】解：
，
当，时，；
，
当，时，；
故答案为：；；
（2）；
证明：
；
（3）当，时，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
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