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专题02 整式与因式分解-2023年中考数学分项汇编（全国通用）
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这是一份专题02 整式与因式分解-2023年中考数学分项汇编（全国通用），共34页。试卷主要包含了代数式的意义可以是，计算，若，则，下列计算正确的是，计算的正确结果是，下列运算结果正确的是，在日历上，某些数满足一定的规律等内容，欢迎下载使用。
专题02 整式与因式分解-2023年中考数学分项汇编（全国通用）
一．选择题（共20小题）
1．（2023•河北）代数式的意义可以是
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
2．（2023•乐山）计算：
A． B． C． D．1
3．（2023•常德）若，则
A．5 B．1 C． D．0
4．（2023•宜宾）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
5．（2023•丽水）计算的正确结果是
A． B． C． D．
6．（2023•枣庄）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
7．（2023•台湾）乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元
停车时段
收费方式
20元小时 该时段最多收100元
5元小时 该时段最多收30元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
A． B． C． D．
8．（2023•宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A．左上角的数字为
B．左下角的数字为
C．右下角的数字为
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
9．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是
A．39 B．44 C．49 D．54
10．（2023•台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者
A．11 B．15 C．30 D．33
11．（2023•武汉）计算的结果是
A． B． C． D．
12．（2023•福建）下列计算正确的是
A． B． C． D．
13．（2023•陕西）计算：
A． B． C． D．
14．（2023•新疆）计算的结果是
A． B． C． D．
15．（2023•随州）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为
A．6 B．7 C．8 D．9
16．（2023•杭州）分解因式：
A． B． C． D．
17．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是
A． B．
C． D．
18．（2023•台湾）下列何者为多项式的因式
A． B． C． D．
19．（2023•河北）若为任意整数，则的值总能
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
20．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共15小题）
21．（2023•株洲）计算： ．
22．（2023•河南）某校计划给每个年级配发套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
23．（2023•河北）根据表中的数据，写出的值为 ，的值为
2
7
1
24．（2023•岳阳）观察下列式子：
；；；；；
依此规律，则第为正整数）个等式是 ．
25．（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，依此规律，第个图案中有 个白色圆片（用含的代数式表示）．
26．（2023•江西）单顶式的系数为 ．
27．（2023•天津）计算的结果为 ．
28．（2023•乐山）若、满足，则 ．
29．（2023•凉山州）已知是完全平方式，则的值是 ．
30．（2023•遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
31．（2023•丽水）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
32．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ．
33．（2023•济宁）已知实数满足，则 ．
34．（2023•十堰）若，，则的值是 ．
35．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
三．解答题（共9小题）
36．（2023•南充）先化简，再求值：，其中．
37．（2023•金华）已知，求的值．
38．（2023•邵阳）先化简，再求值：，其中，．
39．（2023•凉山州）先化简，再求值：，其中，．
40．观察下面的等式：，，，，
（1）写出的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
41．（2023•枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： ， ；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
42．（2023•台湾）、两厂牌的疫苗皆进行实验以计算其疫苗效力．两厂牌的疫苗实验人数皆为30000人，各厂牌实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂．经过一段时间后观察得知，在厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下：
疫苗效力，其中
，
请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释．
（1）根据实验数据算出厂牌的疫苗效力为多少？
（2）若厂牌的实验数据算出的疫苗效力高于厂牌，请详细说明厂牌的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于厂牌实验中施打疫苗后仍感染的人数？
43．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
（1）第个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，，第个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的2倍．
44．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为，．
表2
表3
（1）请用含的式子分别表示，，当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共20小题）
1．（2023•河北）代数式的意义可以是
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
【分析】直接利用代数式的意义分析得出答案．
【解答】解：代数式的意义可以是与的积．
故选：．
【点评】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．
2．（2023•乐山）计算：
A． B． C． D．1
【分析】直接合并同类项得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
3．（2023•常德）若，则
A．5 B．1 C． D．0
【分析】将已知条件变形可得，然后将变形为后代入数值计算即可．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键．
4．（2023•宜宾）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：．，则不符合题意；
．，则符合题意；
．与不是同类项，无法合并，则不符合题意；
．与不是同类项，无法合并，则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023•丽水）计算的正确结果是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
6．（2023•枣庄）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2023•台湾）乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元
停车时段
收费方式
20元小时
该时段最多收100元
5元小时
该时段最多收30元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
A． B． C． D．
【分析】由题意得阿虹停车的时间超过5小时，且第二个时段的停车时间为小时，则可求解．
【解答】解：阿虹离场时间介于当日的间，
阿虹的停车费为：元．
故选：．
【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．
8．（2023•宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A．左上角的数字为
B．左下角的数字为
C．右下角的数字为
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【分析】根据右上角的数字为，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，由此可作判断．
【解答】解：、左上角的数字为，不正确；
、左下角的数字为，不正确；
、右下角的数字为，不正确；
、方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，正确．
故选：．
【点评】此题考查了列代数式和整式的加减运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题．
9．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是
A．39 B．44 C．49 D．54
【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，图案①有：根小木棒，
图案②有：根小木棒，
图案③有：根小木棒，
，
第个图案有：根小木棒，
第⑧个图案有：根小木棒，
故选：．
【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2023•台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者
A．11 B．15 C．30 D．33
【分析】因为等差数列1，2，3，4，5，则公差为1，插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，可知：插入的新数个数是4的倍数，由此可作判断．
【解答】解：根据题意可知：有4个位置插入一些数，
插入的新数个数是4的倍数，
，，，，
又知28是4的倍数，
新的数列的项数可能为33．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列，数字的变化类的规律问题，确定插入的新数个数是4的倍数是解本题的关键．
11．（2023•武汉）计算的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据积的乘方，即可解答．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方法则．
12．（2023•福建）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：．
，
则符合题意；
．
，
则不符合题意；
．
，
则不符合题意；
．与不是同类项，无法合并，
则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13．（2023•陕西）计算：
A． B． C． D．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2023•新疆）计算的结果是
A． B． C． D．
【分析】直接利用单项式乘单项式以及整式的除法运算法则计算，即可得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（2023•随州）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．
【解答】解：
，
若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张．
故选：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
16．（2023•杭州）分解因式：
A． B． C． D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
17．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】本题考查一元二次方程的解法中的因式分解十字相乘，提公因式等相关知识．
【解答】解：是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项错误，
，故选项错误，
，故选项正确，
，故选项错误．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的解法中的因式分解十字相乘，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
18．（2023•台湾）下列何者为多项式的因式
A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式因式分解可得答案．
【解答】解：，
是多项式的因式．
故选：．
【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解答本题的关键．
19．（2023•河北）若为任意整数，则的值总能
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：
，
为任意整数，
的值总能被3整除，
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出是解此题的关键．
20．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【解答】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查新定义题型，根据所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
二．填空题（共15小题）
21．（2023•株洲）计算： ．
【分析】利用还能同类项的法则运算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键．
22．（2023•河南）某校计划给每个年级配发套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
【分析】根据题意列出代数式即可．
【解答】解：给每个年级配发套劳动工具，
个年级共需配发套劳动工具．
故答案为：．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示3个年级劳动工具的套数．
23．（2023•河北）根据表中的数据，写出的值为 ，的值为
2
7
1
【分析】将代入中计算即可求得的值；将代入可得关于的分式方程，解得的值后代入中计算即可求得的值．
【解答】解：当时，
，
即；
当时，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
那么当时，
，
即，
故答案为：；．
【点评】本题考查代数式求值及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
24．（2023•岳阳）观察下列式子：
；；；；；
依此规律，则第为正整数）个等式是 ．
【分析】观察等式左边的特点，即第个式子就是的平方减去；右边的特点是与的积．
【解答】解：；
；
；
；
；
；
依此规律，则第为正整数）个等式是：．
故答案为：．
【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．
25．（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，依此规律，第个图案中有 个白色圆片（用含的代数式表示）．
【分析】每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．
【解答】解：第1个图形中有个白色圆片；
第2个图形中有个白色圆片；
第3个图形中有个白色圆片；
第个图形中有个白色圆片；
故答案为：．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．
26．（2023•江西）单顶式的系数为 ．
【分析】单项式前面的数字因数即为单项式的系数，据此即可得出答案．
【解答】解：的系数为：，
故答案为：．
【点评】本题考查单项式的系数，特别注意单项式的系数也包括前面的符号．
27．（2023•天津）计算的结果为 ．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方法则，熟记：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
28．（2023•乐山）若、满足，则 16 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：，
，
．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
29．（2023•凉山州）已知是完全平方式，则的值是 ．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解：是完全平方式，，，
或，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
30．（2023•遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
【分析】根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
【解答】解：由图可得，
甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，
，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，
即十二烷的化学式为，
故答案为：．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现和的变化特点．
31．（2023•丽水）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图1阴影部分的面积是 25 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得，利用梯形面积公式可得，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得，继而求得，再结合可求得，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为．
【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：，
，，
，
故答案为：25；
（2）由题意可得，图2中四边形是直角梯形，
，，它的高为：，
，
，
，，
将两式分别平方并整理可得：①，②，
①②整理得：，
，
，
，
，
整理得：，
即，
图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
这两边构成的角为：，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：，，
故阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点评】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出是解题的关键．
32．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： （答案不唯一）． ．
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：，
符合条件的一个多项式是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
33．（2023•济宁）已知实数满足，则 8 ．
【分析】由已知条件可得，将先变形整理得，然后将代入整理可得，再将代入运算即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查因式分解的应用及代数式求值，将代数式拆项并因式分解得是解题的关键．
34．（2023•十堰）若，，则的值是 6 ．
【分析】利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可．
35．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 15 ；第23个智慧优数是 ．
【分析】根据新定义，可以分别列出和的值，进而即可求解．
【解答】解：根据题意，且，当，，则第1个智慧优数为：，
当，，则第2个智慧优数为：，
当，，则第3个智慧优数为：．
正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．
当，，则第3个智慧优数为：，
当，，则第3个智慧优数为：，
当，，则第3个智慧优数为：，
以此类推，
当时，有4个智慧优数，
同理时有5个，时，有6个，智慧优数虽然不会重复，但产生方式却会．举例：24是一个智慧数，却可以有两种方式产生：，和，．
又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的，所以需要将智慧优数进行一一列出，并进行比较．
第22个智慧优数，当时，，第22个智慧优数为：，
第23个智慧优数，当时，，第23个智慧优数为：，
故答案为：15，57．
【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．
三．解答题（共9小题）
36．（2023•南充）先化简，再求值：，其中．
【分析】原式第一项利用平方差公式就是，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
37．（2023•金华）已知，求的值．
【分析】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
【解答】解：原式
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
38．（2023•邵阳）先化简，再求值：，其中，．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将，的值代入计算即可求解．
【解答】解：
，
当，时，原式．
【点评】本题主要考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：．完全平方公式：．
39．（2023•凉山州）先化简，再求值：，其中，．
【分析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
，
当，时，
原式
．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
40．观察下面的等式：，，，，
（1）写出的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1），
；
（2）由题意可得，
；
（3）
，
正确．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
41．（2023•枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： 轴对称图形 ， ；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
【分析】（1）观察图形可得出结论．
（2）根据发现的规律直接画出图形即可．
【解答】解：（1）观察图形可知：三个图形都为轴对称图形且面积相等，
故答案为：轴对称图形，面积相等．
（2）如图：（答案不唯一）
【点评】本题考查了轴对称的知识，利用轴对称进行图形的变换是解题的关键．
42．（2023•台湾）、两厂牌的疫苗皆进行实验以计算其疫苗效力．两厂牌的疫苗实验人数皆为30000人，各厂牌实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂．经过一段时间后观察得知，在厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下：
疫苗效力，其中
，
请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释．
（1）根据实验数据算出厂牌的疫苗效力为多少？
（2）若厂牌的实验数据算出的疫苗效力高于厂牌，请详细说明厂牌的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于厂牌实验中施打疫苗后仍感染的人数？
【分析】（1）根据题中的公式代入计算；
（2）列不等式化简求解．
【解答】解：（1）由题意得：；
（2）不一定；
理由：设在厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为人，施打安慰剂后感染的人数为人：
则：，
，
，
与50没有可比性．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
43．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
（1）第个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，，第个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的2倍．
【分析】（1）不难看出，第1个图案中“◎”的个数为：，第2个图案中“◎”的个数为：，第2个图案中“◎”的个数为：，，从而可求第个图案中“◎”的个数；
（2）根据所给的规律进行总结即可；
（3）结合（1）（2）列出相应的式子求解即可．
【解答】解：（1）第1个图案中“◎”的个数为：，
第2个图案中“◎”的个数为：，
第2个图案中“◎”的个数为：，
，
第个图案中“◎”的个数：，
故答案为：；
（2）由题意得：第个图案中“★”的个数可表示为：；
故答案为：；
（3）由题意得：，
解得：或（不符合题意）．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
44．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为，．
表2
表3
（1）请用含的式子分别表示，，当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；
（2）利用作差法比较即可．
【解答】解：（1）由图可知，，
当时，；
（2），
理由：，
又，
，
．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积．
专题02 整式与因式分解-2023年中考数学分项汇编（全国通用）
一．选择题（共20小题）
1．（2023•河北）代数式的意义可以是
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
2．（2023•乐山）计算：
A． B． C． D．1
3．（2023•常德）若，则
A．5 B．1 C． D．0
4．（2023•宜宾）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
5．（2023•丽水）计算的正确结果是
A． B． C． D．
6．（2023•枣庄）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
7．（2023•台湾）乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元
停车时段
收费方式
20元小时 该时段最多收100元
5元小时 该时段最多收30元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
A． B． C． D．
8．（2023•宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A．左上角的数字为
B．左下角的数字为
C．右下角的数字为
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
9．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是
A．39 B．44 C．49 D．54
10．（2023•台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者
A．11 B．15 C．30 D．33
11．（2023•武汉）计算的结果是
A． B． C． D．
12．（2023•福建）下列计算正确的是
A． B． C． D．
13．（2023•陕西）计算：
A． B． C． D．
14．（2023•新疆）计算的结果是
A． B． C． D．
15．（2023•随州）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为
A．6 B．7 C．8 D．9
16．（2023•杭州）分解因式：
A． B． C． D．
17．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是
A． B．
C． D．
18．（2023•台湾）下列何者为多项式的因式
A． B． C． D．
19．（2023•河北）若为任意整数，则的值总能
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
20．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共15小题）
21．（2023•株洲）计算： ．
22．（2023•河南）某校计划给每个年级配发套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
23．（2023•河北）根据表中的数据，写出的值为 ，的值为
2
7
1
24．（2023•岳阳）观察下列式子：
；；；；；
依此规律，则第为正整数）个等式是 ．
25．（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，依此规律，第个图案中有 个白色圆片（用含的代数式表示）．
26．（2023•江西）单顶式的系数为 ．
27．（2023•天津）计算的结果为 ．
28．（2023•乐山）若、满足，则 ．
29．（2023•凉山州）已知是完全平方式，则的值是 ．
30．（2023•遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
31．（2023•丽水）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
32．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ．
33．（2023•济宁）已知实数满足，则 ．
34．（2023•十堰）若，，则的值是 ．
35．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
三．解答题（共9小题）
36．（2023•南充）先化简，再求值：，其中．
37．（2023•金华）已知，求的值．
38．（2023•邵阳）先化简，再求值：，其中，．
39．（2023•凉山州）先化简，再求值：，其中，．
40．观察下面的等式：，，，，
（1）写出的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
41．（2023•枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： ， ；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
42．（2023•台湾）、两厂牌的疫苗皆进行实验以计算其疫苗效力．两厂牌的疫苗实验人数皆为30000人，各厂牌实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂．经过一段时间后观察得知，在厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下：
疫苗效力，其中
，
请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释．
（1）根据实验数据算出厂牌的疫苗效力为多少？
（2）若厂牌的实验数据算出的疫苗效力高于厂牌，请详细说明厂牌的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于厂牌实验中施打疫苗后仍感染的人数？
43．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
（1）第个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，，第个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的2倍．
44．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为，．
表2
表3
（1）请用含的式子分别表示，，当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共20小题）
1．（2023•河北）代数式的意义可以是
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
【分析】直接利用代数式的意义分析得出答案．
【解答】解：代数式的意义可以是与的积．
故选：．
【点评】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．
2．（2023•乐山）计算：
A． B． C． D．1
【分析】直接合并同类项得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
3．（2023•常德）若，则
A．5 B．1 C． D．0
【分析】将已知条件变形可得，然后将变形为后代入数值计算即可．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键．
4．（2023•宜宾）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：．，则不符合题意；
．，则符合题意；
．与不是同类项，无法合并，则不符合题意；
．与不是同类项，无法合并，则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023•丽水）计算的正确结果是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
6．（2023•枣庄）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2023•台湾）乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元
停车时段
收费方式
20元小时
该时段最多收100元
5元小时
该时段最多收30元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
A． B． C． D．
【分析】由题意得阿虹停车的时间超过5小时，且第二个时段的停车时间为小时，则可求解．
【解答】解：阿虹离场时间介于当日的间，
阿虹的停车费为：元．
故选：．
【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．
8．（2023•宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A．左上角的数字为
B．左下角的数字为
C．右下角的数字为
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【分析】根据右上角的数字为，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，由此可作判断．
【解答】解：、左上角的数字为，不正确；
、左下角的数字为，不正确；
、右下角的数字为，不正确；
、方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，正确．
故选：．
【点评】此题考查了列代数式和整式的加减运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题．
9．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是
A．39 B．44 C．49 D．54
【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，图案①有：根小木棒，
图案②有：根小木棒，
图案③有：根小木棒，
，
第个图案有：根小木棒，
第⑧个图案有：根小木棒，
故选：．
【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2023•台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者
A．11 B．15 C．30 D．33
【分析】因为等差数列1，2，3，4，5，则公差为1，插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，可知：插入的新数个数是4的倍数，由此可作判断．
【解答】解：根据题意可知：有4个位置插入一些数，
插入的新数个数是4的倍数，
，，，，
又知28是4的倍数，
新的数列的项数可能为33．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列，数字的变化类的规律问题，确定插入的新数个数是4的倍数是解本题的关键．
11．（2023•武汉）计算的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据积的乘方，即可解答．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方法则．
12．（2023•福建）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：．
，
则符合题意；
．
，
则不符合题意；
．
，
则不符合题意；
．与不是同类项，无法合并，
则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13．（2023•陕西）计算：
A． B． C． D．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2023•新疆）计算的结果是
A． B． C． D．
【分析】直接利用单项式乘单项式以及整式的除法运算法则计算，即可得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（2023•随州）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．
【解答】解：
，
若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张．
故选：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
16．（2023•杭州）分解因式：
A． B． C． D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
17．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】本题考查一元二次方程的解法中的因式分解十字相乘，提公因式等相关知识．
【解答】解：是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项错误，
，故选项错误，
，故选项正确，
，故选项错误．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的解法中的因式分解十字相乘，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
18．（2023•台湾）下列何者为多项式的因式
A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式因式分解可得答案．
【解答】解：，
是多项式的因式．
故选：．
【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解答本题的关键．
19．（2023•河北）若为任意整数，则的值总能
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：
，
为任意整数，
的值总能被3整除，
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出是解此题的关键．
20．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【解答】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查新定义题型，根据所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
二．填空题（共15小题）
21．（2023•株洲）计算： ．
【分析】利用还能同类项的法则运算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键．
22．（2023•河南）某校计划给每个年级配发套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
【分析】根据题意列出代数式即可．
【解答】解：给每个年级配发套劳动工具，
个年级共需配发套劳动工具．
故答案为：．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示3个年级劳动工具的套数．
23．（2023•河北）根据表中的数据，写出的值为 ，的值为
2
7
1
【分析】将代入中计算即可求得的值；将代入可得关于的分式方程，解得的值后代入中计算即可求得的值．
【解答】解：当时，
，
即；
当时，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
那么当时，
，
即，
故答案为：；．
【点评】本题考查代数式求值及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
24．（2023•岳阳）观察下列式子：
；；；；；
依此规律，则第为正整数）个等式是 ．
【分析】观察等式左边的特点，即第个式子就是的平方减去；右边的特点是与的积．
【解答】解：；
；
；
；
；
；
依此规律，则第为正整数）个等式是：．
故答案为：．
【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．
25．（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，依此规律，第个图案中有 个白色圆片（用含的代数式表示）．
【分析】每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．
【解答】解：第1个图形中有个白色圆片；
第2个图形中有个白色圆片；
第3个图形中有个白色圆片；
第个图形中有个白色圆片；
故答案为：．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．
26．（2023•江西）单顶式的系数为 ．
【分析】单项式前面的数字因数即为单项式的系数，据此即可得出答案．
【解答】解：的系数为：，
故答案为：．
【点评】本题考查单项式的系数，特别注意单项式的系数也包括前面的符号．
27．（2023•天津）计算的结果为 ．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方法则，熟记：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
28．（2023•乐山）若、满足，则 16 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：，
，
．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
29．（2023•凉山州）已知是完全平方式，则的值是 ．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解：是完全平方式，，，
或，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
30．（2023•遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
【分析】根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
【解答】解：由图可得，
甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，
，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，
即十二烷的化学式为，
故答案为：．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现和的变化特点．
31．（2023•丽水）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图1阴影部分的面积是 25 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得，利用梯形面积公式可得，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得，继而求得，再结合可求得，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为．
【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：，
，，
，
故答案为：25；
（2）由题意可得，图2中四边形是直角梯形，
，，它的高为：，
，
，
，，
将两式分别平方并整理可得：①，②，
①②整理得：，
，
，
，
，
整理得：，
即，
图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
这两边构成的角为：，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：，，
故阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点评】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出是解题的关键．
32．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： （答案不唯一）． ．
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：，
符合条件的一个多项式是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
33．（2023•济宁）已知实数满足，则 8 ．
【分析】由已知条件可得，将先变形整理得，然后将代入整理可得，再将代入运算即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查因式分解的应用及代数式求值，将代数式拆项并因式分解得是解题的关键．
34．（2023•十堰）若，，则的值是 6 ．
【分析】利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可．
35．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 15 ；第23个智慧优数是 ．
【分析】根据新定义，可以分别列出和的值，进而即可求解．
【解答】解：根据题意，且，当，，则第1个智慧优数为：，
当，，则第2个智慧优数为：，
当，，则第3个智慧优数为：．
正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．
当，，则第3个智慧优数为：，
当，，则第3个智慧优数为：，
当，，则第3个智慧优数为：，
以此类推，
当时，有4个智慧优数，
同理时有5个，时，有6个，智慧优数虽然不会重复，但产生方式却会．举例：24是一个智慧数，却可以有两种方式产生：，和，．
又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的，所以需要将智慧优数进行一一列出，并进行比较．
第22个智慧优数，当时，，第22个智慧优数为：，
第23个智慧优数，当时，，第23个智慧优数为：，
故答案为：15，57．
【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．
三．解答题（共9小题）
36．（2023•南充）先化简，再求值：，其中．
【分析】原式第一项利用平方差公式就是，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
37．（2023•金华）已知，求的值．
【分析】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
【解答】解：原式
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
38．（2023•邵阳）先化简，再求值：，其中，．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将，的值代入计算即可求解．
【解答】解：
，
当，时，原式．
【点评】本题主要考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：．完全平方公式：．
39．（2023•凉山州）先化简，再求值：，其中，．
【分析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
，
当，时，
原式
．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
40．观察下面的等式：，，，，
（1）写出的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1），
；
（2）由题意可得，
；
（3）
，
正确．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
41．（2023•枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： 轴对称图形 ， ；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
【分析】（1）观察图形可得出结论．
（2）根据发现的规律直接画出图形即可．
【解答】解：（1）观察图形可知：三个图形都为轴对称图形且面积相等，
故答案为：轴对称图形，面积相等．
（2）如图：（答案不唯一）
【点评】本题考查了轴对称的知识，利用轴对称进行图形的变换是解题的关键．
42．（2023•台湾）、两厂牌的疫苗皆进行实验以计算其疫苗效力．两厂牌的疫苗实验人数皆为30000人，各厂牌实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂．经过一段时间后观察得知，在厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下：
疫苗效力，其中
，
请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释．
（1）根据实验数据算出厂牌的疫苗效力为多少？
（2）若厂牌的实验数据算出的疫苗效力高于厂牌，请详细说明厂牌的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于厂牌实验中施打疫苗后仍感染的人数？
【分析】（1）根据题中的公式代入计算；
（2）列不等式化简求解．
【解答】解：（1）由题意得：；
（2）不一定；
理由：设在厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为人，施打安慰剂后感染的人数为人：
则：，
，
，
与50没有可比性．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
43．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
（1）第个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，，第个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的2倍．
【分析】（1）不难看出，第1个图案中“◎”的个数为：，第2个图案中“◎”的个数为：，第2个图案中“◎”的个数为：，，从而可求第个图案中“◎”的个数；
（2）根据所给的规律进行总结即可；
（3）结合（1）（2）列出相应的式子求解即可．
【解答】解：（1）第1个图案中“◎”的个数为：，
第2个图案中“◎”的个数为：，
第2个图案中“◎”的个数为：，
，
第个图案中“◎”的个数：，
故答案为：；
（2）由题意得：第个图案中“★”的个数可表示为：；
故答案为：；
（3）由题意得：，
解得：或（不符合题意）．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
44．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为，．
表2
表3
（1）请用含的式子分别表示，，当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；
（2）利用作差法比较即可．
【解答】解：（1）由图可知，，
当时，；
（2），
理由：，
又，
，
．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积．
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