高考数学二轮专题学与练 03 函数的应用（高考押题）（含解析）

高考押题专练

1．设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内(　　)

A．(0,1)  B．(3,4) 

C．(2,3)  D．(1,2)

【答案】D　

【解析】令f(x)＝2ln x－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f(x)在(1,2)上有零点，即a在区间(1,2)内．

2．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(　　)

A．f(x0)＝0  B．f(x0)>0

C．f(x0)<0   D．f(x0)的符号不确定

【答案】C　

【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象，由图象可知，当0<x0<a时，有2x0<logx0，即f(x0)<0.

3．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)

A．多于4个   B．4个 

C．3个       D．2个

【答案】B　

【解析】∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.

当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x.

函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．

在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示：

显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故答案为B.

4．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】C　

【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足

即

解得<m<.

5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a 

C．c<a<b  D．b<a<c

【答案】A　

【解析】在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与直线y＝－x的交点情况可知a<b<c.

6．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)＝则函数g(x)＝lg x的图象与函数f(x)的图象的交点个数为(　　)

A．3  B．5 

C．9  D．10

【答案】C　

【解析】因为函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象与函数g(x)＝lg x的图象如图所示，

由图可知两曲线有9个交点．

7．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为(　　)

A．1  B．2 

C．3  D．4

【答案】B　

【解析】由题意知，f(x)＝当x>1时，令1－ln2x＝0，解得x＝e，此时f(x)有一个零点；当x＝1时，f(1)＝0，则x＝1是f(x)的一个零点；当0<x<1时，令－1－ln2x＝0，此方程无解，此时f(x)无零点．综上，f(x)的零点个数为2.

8．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有(　　)

A．1对  B．2对 

C．3对  D．4对

【答案】B　

【解析】函数f(x)＝的图象及函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，

则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对．

9．函数f(x)对一切实数x都满足并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．

【解析】因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是，另外两个根关于直线x＝对称，且和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为.

【答案】

10．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．

【解析】函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．

【答案】2

11．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.

【解析】求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2<ln e＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.

【答案】2

12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

【解析】关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．

【答案】(－1,0)

13．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g[f(1)]的值；

(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

【解析】(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

14．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－恰有2个零点，则a的取值范围为________．

【解析】当x≥1时，g(x)＝f(x)－＝－，则g′(x)＝，由g′(x)>0，得1≤x<e，由g′(x)<0得x>e，所以函数g(x)在[1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)在[1，＋∞)上有最大值，且g(x)max＝g(e)＝－>0，又g(1)＝－<0，g(e3)＝－<0，所以在[1，＋∞)上g(x)＝f(x)－有2个不同的零点，则由题意知当x<1时，函数g(x)＝f(x)－＝ax2－a－无零点．当a>0时，g(x)在(－∞，1)上有最小值，且g(x)min＝g(0)＝－a－<0，此时函数g(x)有零点，不满足题意；当a＝0时，g(x)＝－<0，此时函数g(x)无零点，满足题意；当a<0时，g(x)在(－∞，1)上有最大值，且g(x)max＝g(0)＝－a－，由g(x)max<0，得－<a<0.综上可知，实数a的取值范围是.

【答案】

15．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

【解析】设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，

(1)若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，

∵f(0)＝1>0，

∴f(2)<0.

又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，

∴m<－.

(2)若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，

则∴∴

∴－≤m≤－1.

由(1)(2)可知实数m的取值范围是(－∞，－1]．

16．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

【解析】法一：(换元法)

设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)

原方程有实根，即方程(*)有正根．

令f(t)＝t2＋at＋a＋1.

(1)若方程(*)有两个正实根t1，t2，

则解得－1＜a≤2－2；

(2)若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；

(3)当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．

综上可知实数a的取值范围是(－∞，2－2 ]．

法二：(分离变量法)

由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，

则a＝－＝－

＝2－，其中t＋1>1，

由基本(均值)不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.

综上可知实数a的取值范围是(－∞，2－2 ]．

17．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a，b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，

即a＋b＝0；①　

当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，

故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.②

解方程组得

(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．

18.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；

(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

【解析】设该店月利润余额为L元，

则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①

由销量图易得Q＝

代入①式得L＝

(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；

当20<P≤26时，Lmax＝元，此时P＝元．

故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．

(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.

即最早可望在20年后脱贫．

19．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．

(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?

(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；

(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．

【解析】(1)因为f(x)＝p·qx是单调函数，f(x)＝px2＋qx＋1，只有两个单调区间，故不符合题设中的价格变化规律．在f(x)＝x(x－q)2＋p中，f′(x)＝3x2－

4qx＋q2，令f′(x)＝0，得x1＝q，x2＝，即f′(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.

(2)对于f(x)＝x(x－q)2＋p，

由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，

又q＞1，所以q＝3，

所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．

(3)因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，

所以f′(x)＝3x2－12x＋9，

令f′(x)≤0，得1≤x≤3.

所以函数f(x)在[1，3]内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月、11月三个月内价格下跌．

20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．

(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数表达式；

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

【解析】(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；

当4<x≤20时，设v＝ax＋b，

由已知得解得

所以v＝－x＋，故函数

v＝

(2)设鱼的年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得

f(x)＝

当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；

当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.

所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．