高考数学二轮专题学与练 04 导数及其应用（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 04 导数及其应用（考点解读）（含解析），共29页。试卷主要包含了导数的定义，导数的几何意义，导数的运算，函数的性质与导数等内容，欢迎下载使用。
专题4 导数及其应用

高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．
预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．

1．导数的定义
f ′(x)＝ ＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)．
3．导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
①c′＝0(c为常数)；　 　②(xm)′＝mxm－1；
③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna；
⑦(lnx)′＝； ⑧(logax)′＝.
(2)导数的四则运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[]′＝.
④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.
4．函数的性质与导数
在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f ′(x)0，也即(2＋2x)e－2x＋(2x－2)e2x＋4x>0
令t＝2x>0，则(2＋t)e－t＋(t－2)et＋2t>0，
即x>0时，(2－x)ex－(2＋x)e－x0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：对任意x∈(1，＋∞)都有f(x)≥2m－－e恒成立．
【解析】(1)①∵f(x)＝mln x＋x2－(m＋1)x＋m(m>0)，
∴f′(x)＝＋x－(m＋1)＝＝，
当00，
∴－>2m－－e，即f(x)≥2m－－e成立；
当m>1时，f(1)在(1，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(m)＝mln m－，
要证f(x)≥2m－－e在(1，＋∞)上恒成立，
只需证mln m－2m＋e≥0在(1，＋∞)上恒成立，
设g(m)＝mln m－2m＋e，
则g′(m)＝ln m－1，令g′(m)>0，则m>e，
∴g(m)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴g(m)min＝g(e)＝0，∴f(x)≥2m－－e成立．
综上所述，对任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)≥2m－－e恒成立．
【变式探究】已知f(x)＝xeax－x2－x＋1，a≠0.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若∃x0≥1，使f(x0)0，得x0；
由f′(x)0，
即ea>a恒成立，即g(a)>0，
所以不等式ea－a恒成立，
若∃x0≥1，使f(x0)﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞)，此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1)，此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f(x)﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f(x)﹣ax﹣b在(﹣∞，0)上有一个零点，在[0，+∞)上有2个零点，
如图：

∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b(a+1)3，
则a>–1，b