高考数学二轮专题学与练 07 三角恒等变换与解三角形（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 07 三角恒等变换与解三角形（考点解读）（含解析），共27页。试卷主要包含了和差角公式，倍角公式，半角公式，正弦定理，余弦定理，面积公式，解三角形等内容，欢迎下载使用。
专题7 三角恒等变换与解三角形

和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．

1．和差角公式
(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；
(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
(3)tan(α±β)＝.
2．倍角公式
(1)sin2α＝2sinαcosα；
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝.
3．半角公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±；
(4)tan＝＝.
4．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
5．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
6．面积公式
S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
7．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.

高频考点一　三角函数概念，同角关系及诱导公式
例1、(2018年浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【答案】 (1). (2). 3
【解析】由正弦定理得,所以
由余弦定理得(负值舍去).
【变式探究】【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.
【答案】
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么， (或)，
所以.
【变式探究】 (1)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
【解析】基本法：将θ－转化为－.
由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以
cos>0，所以cos＝＝.
tan＝tan＝－
＝－＝－＝－.
【答案】－
速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，
∴θ＝α－，
∴tan＝tan＝－tan.

如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝可得，
BC＝3，AB＝5，AC＝4，
∴∠B＝－α，∴tan B＝，
∴tan B＝－.
【答案】－
(2)若tan α＞0，则(　　)
A．sin α＞0　　　　　　　B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
【解析】基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C正确；α取时，cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－＜0，D错．故选C.
速解法：∵tan α＝＞0，即sin αcos α＞0，
∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.
【答案】C
高频考点二　三角函数的求值与化简
例2、(1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【解析】基本法：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.
速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式．
又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin 30°＝.
【答案】D
(2)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
【解析】基本法：由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因为α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，因为α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.
速解法一：∵tan ＝，
由tan α＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.
把β＝2α－代入
＝
＝＝tan α，题设成立．故选C.
速解法二：＝＝tan
∴tan α＝tan
又∵α∈，β∈，∴∈，
∴＋∈，∴α＝＋，
∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.
【答案】C
高频考点三 解三角形
例3、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,
，，所以.
.

【举一反三】(2018年全国Ⅱ卷理数)在中，，，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为
所以，选A.
【变式探究】在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A　 【解析】设AC＝x，由余弦定理得，
cos 120°＝＝－，
∴x2－4＝－3x，
即x2＋3x－4＝0.
∴x＝1或－4(舍)．
∴AC＝1，选A.
【变式探究】在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)
A. B. C．－ D．－
【答案】C　【解析】如图，作AD⊥BC于D.

设AD＝1，∵B＝，∴BD＝1.
又∵AD＝BC，∴CD＝2，
∴AC＝，AB＝，
∴sin α＝，cos α＝，sin β＝，
cos β＝，
∴cos A＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
高频考点四 正、余弦定理的应用
例 4、【2019年高考全国Ⅰ卷】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求A；
(2)若，求sinC．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
(2)由(1)知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故


．
【举一反三】(2018年天津卷)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(I)求角B的大小；
(II)设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
(Ⅱ)在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a