高考数学二轮专题学与练 11 空间几何体（高考押题）（含解析）

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高考押题专练1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为(　　)A．②①①　　B．②①②C．②④① D．③①①【解析】由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除C；俯视图应当是①，排除B.故选A.【答案】A2．某物体的三视图如图所示，根据图中数据可知该物体的表面积为(　　) A．4π B．5πC．8π D．9π【解析】由三视图可知，该物体的表面积为S＝π×12＋π×1×＋4π×12＝9π.故选D.【答案】D3．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)A. B.C. D．4【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥P－ABCD.如图所示，连接BD.该几何体的体积V＝VB－PAD＋VB－PCD＝××1×2×2＋××1×2×2＝.故选B.【答案】B4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20＋2π B．20＋3πC．24＋2π D．24＋3π【解析】由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积S＝×2π×1×2＋×π×12×2＋5×2×2＝20＋3π.故选B.【答案】B5．某四面体的三视图如图所示，在该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是(　　)A．2 B．4C．2＋ D．4＋2【解析】由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高PO＝2，底面ABC是边长为2的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面 ABC，∠ACB＝90°，则BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以直角三角形有△PBC和△ACB，易求得PC＝＝，又BC＝2，所以S△PBC＝×2×＝，又S△ABC＝×2×2＝2，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2＋，故选C.【答案】C6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是(　　)A. B．3C．3 D.【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有9条，AB＝AD＝BC＝CF＝3，AC＝DF＝3，BG＝3＋1＝4，DG＝FG＝，故该多面体的所有棱中，最大值为3.【答案】C7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为(　　)A. B．1C．2 D．4【解析】由三视图知，该几何体为四棱锥P－ABCD，如图所示，设其内切球的半径为r，所以VP－ABCD＝S▱ABCD×PD＝(S△PAD＋S△PDC＋S△PAB＋S△PBC＋S▱ABCD)×r，所以×32×4＝×(×3×4＋×3×4＋×3×5＋×3×5＋32)r，解得r＝1，所以该几何体的内切球的直径为2.【答案】C8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)A．2 B．4＋2C．4＋4 D．6＋4【解析】由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为，棱柱的高为2.所以其侧面积S＝2×2＋2×2＝4＋4，故选C.【答案】C9．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(　　)A．4 B．6C．8 D．10【解析】依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则＝，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥P－ABC的高的最大值为5＋3＝8，选C.【答案】C10．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是(　　)A．24 cm2 B.cm2C．(6＋2＋2)cm2 D．(24＋8＋8)cm2【解析】如图，依题意可知四棱锥P－ABCD是此几何体的直观图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是正方形，△PAD≌△PBC，△PAB是等腰三角形，设M是AB的中点，N是CD的中点，连接PM、PN、MN，由题知PM＝AB＝4，MN＝4，PN＝4，故此几何体的表面积为S＝S正方形ABCD＋S△PAB＋2S△PBC＋S△PCD＝4×4＋×4×4＋2××4×2＋×4×4＝(24＋8＋8)cm2.所以选D.【答案】D11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．80 B．160 C．240 D．480【答案】B　【解析】如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABCA′B′C′中截去一个三棱锥AA′B′C′后所剩余的部分，其中底面△ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝6，AB＝8，BB′＝10.因此题中的几何体的体积为×10－×＝××10＝160，故选B. 12．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(　　)A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π【答案】A　【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋×2π×2×4＝72＋6π，故选A.13．某几何体的三视图如图所示，则其体积为(　　)A．207 B．216－C．216－36π D．216－18π【答案】B　【解析】由三视图知，该几何体是一个棱长为6的正方体挖去个底面半径为3，高为6的圆锥而得到的，所以该几何体的体积V＝63－××π×32×6＝216－，故选B.14．三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(　　)A．4 B．6C．8 D．10【答案】C　【解析】依题意，设题中球的球心为O，半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则＝，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥PABC的高的最大值为5＋3＝8，故选C.15．已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)A. B.C. D.【答案】D　【解析】依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VPABC＝S△ABCh＝××h＝得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋2＝，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为4πR2＝，故选D.16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A. B．8πC. D．9π【答案】B　【解析】依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接恰好形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，故选B.15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A. B．32C. D．【答案】A　【解析】由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的，所以该几何体的体积V＝×4×4×8－××4×4×4＝，故选A.16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)A．16 B．20C．52 D．60【答案】B　【解析】由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V＝×3×4×6－2××2×4×3＝20，故选B. 17．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥外接球的表面积为(　　)A．136π B．34πC．25π D．18π【答案】B　【解析】由三视图知，该四棱锥的底面是边长为3的正方形，高为4，且有一条侧棱垂直于底面，所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体外接球的半径R即为该四棱锥外接球的半径，所以2R＝，解得R＝，所以该四棱锥外接球的表面积为4πR2＝34π，故选B.18．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．4π＋96 B．(2＋6)π＋96C．(4＋4)π＋64 D．(4＋4)π＋96【答案】D　【解析】由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积为S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96.19．四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为(　　)A．6 B．5C. D.【答案】D　【解析】过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题知，四棱锥PABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点．设PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，所以＝，即＝，解得h＝，故选D.20．某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是(　　)A．2π B．4π C．5π D．20π【答案】C　【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为底边长为2的等腰直角三角形，所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为，，1的长方体，所以该几何体的外接球O的半径R＝＝，则球O的表面积S＝4πR2＝5π，故选C.21．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为(　　)A．17π＋12 B．12π＋12C．20π＋12 D．16π＋12【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为×2π×3×3＋×2π×1×3＋2×＋2×2×3＝20π＋12，故选C．22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．5 B．C．6 D．8【答案】C【解析】该几何体是以左视图为底面的五棱柱，高为2，底面积为2×1＋×2×1＝3，故其体积为3×2＝6.23．一个半径为1的球对称削去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为(　　)A．3π B．4πC．5π D．6π【答案】C【解析】由题中俯视图可知该球被平均分成6部分，削去了3部分，剩余的3部分为该几何体，所以该立体图形的表面积为2×π×12＋3×π×12＝5π，故选C．24．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为(　　)A． B．7πC． D．8π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体，则所求的几何体的表面积为×4π×12＋π×12＋π×12＋2π×1×2＝7π，选B．25．已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为(　　)A．18 B．12C．6 D．4【答案】B【解析】由题意知，球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝＝2.因为△OPF∽△DPE，所以＝，得DE＝2，AD＝3DE＝6，AB＝AD＝12.故选B．26．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)A．32 B．16C． D．【答案】D【解析】由三视图知，该几何体为直三棱柱ABCA1B1C1割去一个小三棱锥DABC后剩余的部分，如图所示，故所求几何体的体积为×43－××42×2＝.故选D．27．在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．【解析】①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示，则AE⊥BD，BD⊥AC.又AE∩AC＝A，所以BD⊥平面AEC，从而有BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①错误．②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在这样的直角三角形BAC，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．③假设AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③错误．【答案】②28．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．【解析】三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF－DD1E＝××1＝.【答案】29．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．【解析】由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可知如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝××1＝.【答案】 30．球面上有不同的三点A、B、C，且AB＝BC＝AC＝3，球心到A，B，C所在截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为________．【解析】设球的球心为O，△ABC的中心为O′，在等边△ABC中，边长AB＝3，则O′A＝××3＝.依题意，R2＝＋O′A2，得R＝2.所以S球＝4πR2＝16π.【答案】16π31．底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为________．【解析】法一：由题意得，三棱锥的侧棱长为3，设正三棱锥的高为h，则××3×3×3＝××36h，解得h＝.法二：由题意得，三棱锥的侧棱长为3，底面正三角形的外接圆的半径为2，所以正三棱锥的高为＝.【答案】