高考数学二轮专题学与练 19 排列、组合、二项式定理（高考押题）（含解析）

高考押题专练

1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0，1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5}，则P⊗Q中元素的个数是(　　)

A．4   B．9   C．20   D．24

【答案】C　

【解析】依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素，故选C.

2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(　　)

A．224   B．112   C．56   D．28

【答案】B　

【解析】根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有CC＝112种．

3．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)

A．－15x4   B．15x4    C．－20ix4    D．20ix4

【答案】A　

【解析】二项式的通项为Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4，得r＝2.

故T3＝Cx4i2＝－15x4.故选A.

4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)

A．60种  B．63种  C．65种  D．66种

【答案】D　

【解析】从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是取四个偶数，即C＝1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即CC＝60种方法；第三类是取四个奇数，即C＝5，故有5＋60＋1＝66种方法．

5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(　　)

A．30种   B．36种   C．60种   D．72种

【答案】A　

【解析】甲、乙两人从4门课程中各选修2门有CC＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．

6．已知(x＋2)15＝a0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 15(1－x)15，则a 13的值为(　　)

A．945   B．－945   C．1 024   D．－1 024

【答案】B　

【解析】由(x＋2)15＝[3－(1－x)]15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，得a13＝C×32×(－1)13＝－945.

7．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A．72   B．168   C．144   D．120

【答案】D　

【解析】先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．

(1)小品1，相声，小品2.有AA＝48；

(2)小品1，小品2，相声．有ACA＝36；

(3)相声，小品1，小品2.有ACA＝36.

共有48＋36＋36＝120种．

8．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)

A．360   B．180   C．90   D．45

【答案】B　

【解析】依题意知n＝10，

∴Tr＋1＝C()10－r·＝C2r·x5－r，

令5－r＝0，得r＝2，

∴常数项为C22＝180.

9．定义“规范01数列”{an}如下：{ an }共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个   B．16个   C．14个   D．12个

【答案】C　

【解析】由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.

10．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2  B．0  C．－1  D．－2

【答案】C　

【解析】当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a 0＝1.

当x＝时，左边＝0，右边＝a 0＋＋＋…＋，

∴0＝1＋＋＋…＋.

即＋＋…＋＝－1.

11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为(　　)

A．232  B．252  C．472  D．484

【答案】C

【解析】由题意，不考虑特殊情况，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取出2张红色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝560－16－72＝472种，选C.

12．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(　　)

A．7种  B．8种

C．6种  D．9种

【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．

【答案】A

13．某校开设A类课3门，B类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)

A．15种  B．30种

C．45种  D．90种

【解析】可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有CC＋CC＝30＋15＝45(种)．

【答案】C

14．在7的展开式中的x3的系数为(　　)

A．210  B．－210

C．－910  D．280

【解析】由于7表示7个因式的乘积，在这7个因式中，有2个取－x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取－x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项．故含x3的项为C×C×2×C－C×C×23＝210－1 120＝－910.故选C.

【答案】C

15．在(x－)2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S＝(　　)

A．23 008  B．－23 008

C．23 009  D．－23 009

【解析】设(x－)2 006＝a0x2 006＋a1x2 005＋…＋a2 005x＋a2 006，则当x＝时，有a0()2 006＋a1()2 005＋…＋a2 005＋a2 006＝0①；当x＝－时，有a0()2 006－a1()2 005＋…－a2 005＋a2 006＝23 009②.①－②得2[a1()2 005＋…＋a2 005()]＝－23 009，即2S＝－23 009，

∴S＝－23 008.故选B.

【答案】B

16．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法有(　　)

A．24种  B．48种

C．96种  D．114种

【解析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有CA＝60(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为(2,2,1)时，有·A＝90种，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类计数原理共有42＋72＝114(种)，故选D.

【答案】D

17．已知二项式n(n∈N*)展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】∵C＋C＋C＝56，∴1＋n＋＝56，∴n2＋n－110＝0，∴n＝10或n＝－11(舍去)．设10的展开式的通项为Tr＋1，则Tr＋1＝C·x2(10－r)·r·(x－)r＝r·C·x20－r，令20－r＝0得：r＝8.∴展开式中的常数项为：T9＝8·C＝.故选A.

【答案】A

18．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于(　　)

A．－10  B．－5

C．5  D．10

【解析】对等式两边求导得10(2x－3)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1得10＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5，故选D.

【答案】D

19．设k＝(sinx－cosx)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．256

【解析】∵k＝(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝(－cosπ－sinπ)－(－cos0－sin0)＝2，∴(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，令x＝0可得a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＝0，故选B.

【答案】B

20．若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．

【解析】Tr＋1＝C·(ax2)5－r＝C·a5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.

【答案】－2

21．若的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．

【解析】令x＝1，得的展开式中各项系数之和为(3－1)n＝128＝27，故n＝7.则二项式的通项Tr＋1＝Tr＋1＝C(3x)7－r×(－x－)r＝(－1)r×37－rCx7－r－r，，令7－r＝－3，得r＝6，故展开式中的系数是(－1)6×37－6C＝21.

【答案】21

22．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同分法的种数是________．

【解析】5张参观券分成4份，1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分给4人，则不同的分法种数是4A＝96.

【答案】96

23．若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则函数f(x)＝a2x2＋a1x＋a0的单调递减区间是________．

【解析】∵(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，∴a0＝1，a1＝－C＝－5，a2＝C＝10，∴f(x)＝10x2－5x＋1＝10＋，∴函数f(x)的单调递减区间是.

【答案】

24．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．

【解析】把8张奖券分4组有两种方法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，∴不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.

【答案】60

25．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8展开式中，含x3的项的系数是__________．

【解析】(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数－C－C－C－C＝－10－20－35－56＝－121.故答案为－121.

【答案】－121