高考数学二轮专题学与练 22 选择题解题方法与技巧（考点解读）（含解析）

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专题22 选择题解题方法与技巧

数学选择题，具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，同学们能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，对于能否进入最佳状态，以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用．解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生．
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．数学选择题的求解，一般有两种思想，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适合. 下面结合典型试题，分别介绍几种常用方法．

解题方法一 定义法
定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．
例1．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝ (　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
【解析】由题意得，tan α＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.
【答案】A　
【感悟提升】利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆定义建立方程组后就可求出|PF1|·|PF2|的值．
【变式探究】已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为 (　　)
A． B．4 C． D．5
【解析】由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
【答案】D　
解题技巧二 数形结合法
数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
例2、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2
C. D．2
【答案】A　
【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.
因为P在圆C上，

所以P.
又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
【变式探究】已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是 (　　)
A．(1,2 017) B．(1,2 018)
C．(2,2 019) D．[2,2 019]
【解析】作出函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，不妨设ac>a
【解析】由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0b>c。
【答案】A
【变式探究】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是 (　　)
A．π B．π
C．4π D．π
【解析】球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，只有D选项符合，故选D。
【答案】D　
解题技巧五 待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等．
例5、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为 (　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，
可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得 ＝.②
由①②解得a＝2，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】D
【反思领悟】待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如本例中已知双曲线的焦点在抛物线y2＝4x的准线上，根据已知条件列方程求解a，b即可．
【变式探究】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝ (　　)
A．41 B．48 C．49 D．56
【解析】设Sn＝An2＋Bn，
由题知，解得A＝1，B＝0，
∴S7＝49.
【答案】C　
解题技巧六 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等．
例6、已知正数x，y满足4y－＝1，则x＋2y的最小值为________．
【解析】由4y－＝1，得x＋2y＝4xy，即＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝1＋＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．所以x＋2y的最小值为2.
【答案】2
【反思领悟】换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如本例中就是使用常数1的代换，将已知条件化为“＋＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．
【变式探究】若函数f(x)＝，其定义域为(－∞，1]，则a的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【解析】由题意得1＋3x＋a·9x≥0的解集为(－∞，1]，即2＋x＋a≥0的解集为(－∞，1]．令t＝x，则t≥，
即方程t2＋t＋a≥0的解集为，
∴2＋＋a＝0，所以a＝－.
【答案】A
解题方法七 构造法
构造法求解选择、填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括、积极联想、横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、数列、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例7、(1)若a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【解析】 (1)令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝.当0>>>0，∴a>b>c.
【答案】 (1)A
(2)如图，已知球O的表面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

【解析】如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，

所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
【答案】π
【反思领悟】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．如本例(2)中巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题就很容易得到解决．
【变式探究】关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π≈________(用分数表示)．
【解析】(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为

作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有＝，解得π＝.
【答案】
解题技巧八 分离参数法
分离参数法是不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．
例8、若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是________．
【解析】由于x>0，
则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，
而当x∈时，max＝－，
∴a≥－，故a的最小值为－.
【答案】－
【反思领悟】利用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化否则就会导致错解．
【变式探究】方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．
【解析】若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则2＋x＝a－2x有解，即×x＋2x＝a有解，∵×x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时取等号．故a的最小值为1.
【答案】1
解题方法九 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
例9、记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
则由得
即解得d＝4.
【答案】C
【变式探究】有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a，b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直．其中正确命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】利用立体几何中有关垂直的判定与性质定理对上述3个命题作出判断，易得都是正确的，故选D.
【答案】D
【变式探究】已知f(x)＝则f的值等于(　　)
A．0 B．π C．π2 D．9
【解析】由f＝f{f(0)}＝f{π}＝π2可知，选C。
【答案】C
解题方法十 特例法
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
一、取特殊值
例1、若0≤α≤2π，sin α＞cos α，则α的取值范围是(　　)
　A. B.
C. D.
【解析】取α＝，排除A；α＝π，排除B；α＝，排除D.故选C.
【答案】C
【变式探究】(1)a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
(2)若x∈(e－1，1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则(　　)
A．a