2022-2023学年山西省大同市重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省大同市重点中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若全集，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知函数为上的偶函数，则实数(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

3.  “”是“函数有且只有两个零点”的(    )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  已知函数，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的图象(    )

A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于点对称

8.  已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.  设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  下列函数中，满足“，且，”的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  对，是真命题，则的取值范围是______ ．

14.  已知函数，实数，满足，且，若在的最大值为，则          ．

15.  的展开式中，各项系数的和为______．

16.  设函数的导数为，且 ，则 ______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在甲、乙等个单位参的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序序号为，，，，，以表示排在甲、乙两单位演出之间的其他演出单位个数，以表示甲，乙都演出结束时，其他已演出单位的个数．
求；
求随机变量的分布列和数学期望．

18.  本小题分
电影院统计了某电影上映高峰后连续场的观众人数，其中每场观众人数单位：百人与场次的统计数据如表：

通过散点图可以发现与之间具有相关性，且满足经验关系式：，设．
利用与的相关性及表格中的前组数据求出与之间的回归方程结果保留两位小数；
如果每场观众人数超过百人，称为“满场”从表格中的组数据中随机选出组，设表示“满场”的数据组数，求的分布列及数学期望．
附：前组数据的相关量及公式：，对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

19.  本小题分
已知函数，．
若函数在区间上有零点，求实数的取值范围；
设，若对于任意，都有，求的取值范围．

20.  本小题分
如图，四面体中，、分别是、的中点，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求点到平面的距离．

21.  本小题分
在直角坐标中，直线的参数方程为为参数在以为极点．轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程：
Ⅱ若直线与轴的交点为，直线与曲线的交点为，，求的值．

22.  本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求，的值；
若，求函数的单调区间；
设已知函数，且在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
且，即，
又．
，
故选：．
求出集合中的范围，注意，再与求交集．
本题考查交集的运算，属于简单题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数为上的偶函数，则，即，
变形可得，
必有，解可得，
故选：．
根据题意，由偶函数的定义可得，即，变形分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数函数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为当时，有一零点，
要使函数有两个零点，则当时必有一个零点，
即有一个非正解，
即在上有解，
所以，
又因为，，
所以““是“函数有且只有两个零点”的必要不充分条件，
故选：．
求出函数有且只有两个零点的充要条件即可判断．
本题考查函数的零点，充分条件和必要条件，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数的开口向下，
对称轴为，则，
，
，
，
不等式的解集为，
故选：．
由对称轴为，得到，再利用二次函数的图像与性质得到即可．
本题主要考查二次函数的图像与性质，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象知，，
显然函数是奇函数，则，，
因此，函数的图象与的图象没有公共点，而的图象是的图象向右平移个单位而得，
于是得，，当且仅当，解得，而，即有，
所以正实数的取值范围为．
故选：．
求出函数、的解析式，再借助函数性质及图象变换，列出不等式，求解作答．
本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题．
写出前几次循环的结果，直到不满足判断框中的条件，退出循环，输出的值．
【解答】
解：第一次循环得，，；
第二次循环得，，；
第三次循环得，，；
第四次循环得，，；
第五次循环得，，；
第六次循环得，，；
第七次循环得，，；
第八次循环得，，；退出循环，输出，
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期是，
，解得，
即，
将其图象向右平移个单位后得到，
若此时函数关于原点对称，
则，即，，
，
当时，．
即
由，
解得，，
故当时，函数的对称轴为，
故选：
根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．
本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意点的坐标为，
设在准线上的射影为
由抛物线的定义知，
，
则：：，
，
，求得，
故选：．
作出在准线上的射影，根据：确定：的值，进而列方程求得．
本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为当时，有恒成立，即恒成立，
所以在内单调递减．
因为，
所以在内恒有；在内恒有．
又因为是定义在上的奇函数，
所以在内恒有；在内恒有．
又不等式的解集，即不等式的解集．
所以答案为．
故选：．
首先根据商函数求导法则，把化为；然后利用导函数的正负性，可判断函数在内单调递减；再由，易得在内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得在内的正负性．则的解集即可求得．
本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．
 

10.【答案】 

【解析】解：由中不等式变形得：，
解得：，即，
由中，得到，
解得：，即，
则，
故选：．
求出中不等式的解集确定出，求出中的范围确定出，找出与的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键，为基础题．
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．
【解答】
解：是的必要不充分条件，
，
，
解得，
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得函数在区间上为减函数，
选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；
选项B，，故函数在单调递增，不合题意；
选项C，由可知函数在上为减函数，符合题意；
选项D，函数在上单调递增，故不合题意，
故选C
易得所求函数在区间上为减函数，逐个验证：为增函数；在单调递增；符合题意；在上单调递增，可得答案．
本题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，对，，即是真命题，成立．
当时，对，是真命题，必有，
解得，，
当时，对，是真命题，显然不成立．
综上，．
故答案为：
对与，，分别利用，是真命题，求出的范围．
本题考查不等式的解法，恒成立问题，考查转化思想，分类讨论．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是对数函数的图象和性质．
由题意，正实数，满足，且，即，可得对范围最大值的可能性进行讨论．可求，的值．

【解答】

解：，正实数，满足，且，
，．
在区间上的最大值为，函数在上是减函数，在上是增函数，
，或．
若是最大值，得，则，此时，满足题意条件．那么：
同理：若是最大值，得，则，此时，不满足题意条件．
综合可得，，故，
故答案为．
 

15.【答案】 

【解析】解：令得，，
即展开式的各项系数的和为，
故答案为：．
利用二项式定理的性质，即可直接解出．
本题考查了二项式定理，赋值法，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】解：由，得，
则，解得，
，，
故答案为：． 

【解析】对两边求导，令可得，再令即可求得
本题考查导数的运算、三角函数值，考查学生对问题的分析解决能力．
 

17.【答案】解：只考虑甲、乙两单位演出的相对位置，
则；
的可能取值为，，，，，
，，，
，，
故的分布列为

． 

【解析】只考虑甲、乙两单位演出的相对位置，则可用组合数来计算基本事件，结合古典概型即可得解；
写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可．
本题主要考查离散型随机变量的概率分布列及数学期望，是中档题．
 

18.【答案】解：两边求对数得：．
设，又，则．
．
，．
．
．
与之间的回归方程为．
即．
的可能取值，，．
，，．

． 

【解析】根据对数的运算性质，结合题中数据以及题目所给的公式进行求解即可；
根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可．
本题主要考查回归方程和离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
 

19.【答案】解：，
因为函数在区间上有零点，
所以在区间上有根，
所以在区间上有根，
即在区间上有根，
所以在区间上有根，
令，，
，
所以在上单调递增，
，，
所以，
所以的取值范围为．
，，
因为且，
所以且，
所以的最大值为或，

，
所以，
所以，
即，
设，，
所以在上单调递增，
又，
所以，
即．
所以，
所以的取值范围为． 

【解析】根据题意可得，函数在区间上有零点转化为在区间上有根，即可得出答案．
根据题意可得，，则且，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

20.【答案】Ⅰ证明：，为的中点，
，
，，，
，，
又，，
，
，，均在平面内，
平面；
Ⅱ方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，


设为平面的法向量，则，
，
取，，
则点到平面的距离为；
方法二：设点在上，且，连，
，为的中点，
，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，平面平面，
且交线为
过点作于点，
则平面，
，分别为，的中点，则，
平面，平面，平面，
点到平面的距离即，
，，
故点到平面的距离为． 

【解析】Ⅰ证明，利用勾股定理证明，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面．
Ⅱ方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用的数量积求解点到平面的距离．
方法二：设点在上，说明，证明平面，过点作于点，说明平面，然后证明点到平面的距离即通过求解三角形，求解点到平面的距离．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
 

21.【答案】解：由，得，将其代入中得：，
直线的直角坐标方程为．
由，得，
，即，
曲线的直角坐标方程为；
由：，得，
由，
解得或，
． 

【解析】由，得，将其代入中，即可得出直线的直角坐标方程．由，得，把代入即可得出曲线的直角坐标方程．
分别求出、、的坐标，根据两点之间的距离公式计算即可．
本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，由题意得，即，
所以，；
由得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
，依题意，存在，使不等式成立，
即
，，当且仅当时等号成立，
则，
所以满足要求的的取值范围是． 

【解析】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性以及分析问题解决问题的能力，属于拔高题．
由切点坐标及切点处导数值为，列一方程组，解出即可；
在的条件下，解不等式及即可；
在区间内存在单调递减区间，即在区间内有解，由此可求的范围．