第十章 概率（重难点专题复习）-2022-2023学年高一数学下学期期末复习举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

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第十章 概率（重难点专题复习）



【题型1 事件的关系及运算】
【方法点拨】
根据事件之间的关系，结合具体问题，进行转化求解.
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必
要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.
【例1】（2023·全国·高一专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
【解题思路】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【解答过程】由题可知，事件1可表示为：A=1,3,5,事件2可表示为：B=2,4,6,
事件3可表示为：C=4,5,6,事件4可表示为：D=1,2,
因为A∩C=5，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为B∩C=4,6，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
【变式1-1】（2023·四川内江·统考三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【解题思路】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.
【解答过程】一个人连续射击2次，其可能结果为击中0次，击中1次，击中2次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D.
【变式1-2】（2023·广西柳州·联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）
A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
【解题思路】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事件包含的事件，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.
【解答过程】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，
可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.
对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；
对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；
对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.
故选:D.
【变式1-3】（2023春·广东江门·高一校考阶段练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）
A．至少有1个黑球与都是黑球 B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．至少有1个黑球与都是红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【解题思路】根据互斥事件与对立事件的概念分析即可求解.
【解答过程】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；
“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，
故选：D.
【题型2 古典概型的判断及其概率的求解】
【方法点拨】
第一步，阅读题目，判断试验是否是古典概型；
第二步，计算样本空间中的样本点个数n；
第三步，计算所求事件A包含的样本点个数k；
第四步，计算所求事件A的概率，.
【例2】（2023·全国·高三专题练习）疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习．某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育．现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（    ）
A．34 B．712 C．23 D．56
【解题思路】利用古典概型的概率计算公式，进行求解即可.
【解答过程】将数学、语文、政治、地理分别记为A,B,C,D，将英语，历史，体育分别记为a,b,c，
在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：
A,a，A,b，A,c，B,a，B,b，B,c，C,a，C,b，C,c，
D,a，D,b，D,c共12种情况．
选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有A,b，B,b，C,a，C,b，C,c，D,a，D,b，D,c共8种情况．
∴所求概率为P=812=23，
故选C．
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上， 则这个人站起来； 若硬币正面朝下， 则这个人继续坐着.那么， 没有相邻的两个人站起来的概率为（    ）
A．12 B．516 C．716 D．1116
【解题思路】先求出基本事件的总数，再由列举法可求随机事件中含有的基本事件的总数，由概率公式可求相应的概率.
【解答过程】四个人的坐着或站起来的情形共有24=16种.
没有相邻的两个人站起来，即硬币的正面不能相邻，有以下几种情况：
正反正反，反正反正，反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，反反反反，
共有7种方法.
由古典概型概率公式可得，没有相邻的两个人站起来的概率为716.
故选：C.
【变式2-2】（2023·江西·校联考模拟预测）有道是：“上饶是个好地方，三清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到上饶旅游，分别准备从三清山、婺源、葛仙山三个著名景点中随机选一个景点游玩，则甲、乙至少一人选择三清山的概率是（    ）
A．14 B．13 C．23 D．59
【解题思路】由古典概型列举可选择的情况计算即可.
【解答过程】由题意可知列举可知，甲乙游玩的可能选择是：（三清山，三清山）（三清山，婺源）、（三清山，葛仙山）、（婺源，三清山）、（婺源，婺源）、（婺源，葛仙山）、（葛仙山，三清山）、（葛仙山，婺源）、（葛仙山，葛仙山）共有9种．满足题意的有5种，即甲、乙至少一人选择三清山的概率是59.
故选：D．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（    ）
A．16 B．19 C．536 D．736
【解题思路】分别求出总的基本事件个数和甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的基本事件个数，再用古典概型概率计算公式求解即可.
【解答过程】记事件“A=甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”
由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，
则事件包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，
共有2+2+1=5种不同下法，
所以事件A的概率为：PA=536，
故选：C.
【题型3 概率的基本性质的应用】
【方法点拨】
根据具体问题，准确表示事件，分析事件之间的关系，结合概率的基本性质，计算概率.
【例3】（2023春·安徽·高一开学考试）若事件A,B为两个互斥事件，且PA>0,PB>0，有以下四个结论，其中正确的结论是（    ）
①PAB=0
②PAB=1−PAPB
③PA∪B=1
④PA∪B=PA+PB
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【解题思路】根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知B⊆A，从而判断②；根据概率的性质可判断③④．
【解答过程】∵事件A,B为两个互斥事件，A∩B=∅，∴P(AB)=0，故①正确；
∵事件A,B为两个互斥事件，则B⊆A，∴PAB=PB，故②错误；
P(A∪B)=1−P(AB)=1−0=1，故③正确；
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=P(A)+P(B)，故④正确，
综上，①③④正确，
故选：A．
【变式3-1】（2023春·江西南昌·高一阶段练习）已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=15，P(C)=13，P(A∪B)=815，则P(B∪C)=（    ）．
A．815 B．23 C．715 D．13
【解题思路】根据事件A，B，C两两互斥，求出PB=13，进而利用PB∪C=PB+PC求出答案.
【解答过程】因为事件A，B，C两两互斥，所以PB=PA∪B−PA=815−15=13，
所以PB∪C=PB+PC=13+13=23.
故选：B．
【变式3-2】（2023春·全国·高一专题练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且PA=2−a，PB=4a−5，则实数a的取值范围是（    ）
A．54,2 B．54,32 C．54,43 D．54,32
【解题思路】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【解答过程】因随机事件A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=3a−3，
依题意及概率的性质得0