2023年湖北省荆州市数学中考真题(含解析)

这是一份2023年湖北省荆州市数学中考真题(含解析)，共26页。
荆州市2023年初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．

3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1. 在实数，，，中，无理数是（　　）
A. B. C. D. 3.14
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
【详解】解：在实数，，，中，无理数是，
故选：B．
【点拨】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
2. 下列各式运算正确的是（　　）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
3. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　）

A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.
【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点拨】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案．
【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且，，
∴图象是第一象限双曲线的一支．
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键．
5. 已知，则与最接近的整数为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　）
A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差
C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，选择方差即可求解．
【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差，
故选：B．
【点拨】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键．
7. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，

，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组：，
故选：A．
【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
9. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，

故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．
10. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.
【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心，
，，
，，
，
.
，，
.
设，则，
在中，，
，
.
，
，
.
故选：B.
【点拨】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．
12. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．

【答案】3
【解析】
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13. 某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有___________人参与A类运动最多．
【答案】300
【解析】
【分析】利用样本估计总体即可求解．
详解】解：（人）．
估计有300人参与A类运动最多．
故答案为：300．
【点拨】本题考查了样本估计总体，掌握用样本估计总体是本题的关键．
14. 如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________．

【答案】1
【解析】
【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【点拨】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
15. 如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为___________．（，结果精确到0.1）

【答案】13.8####
【解析】
【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．
16. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．

【答案】
【解析】
【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
【详解】解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，

，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【解析】
【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将和的值代入即可求出答案．
【详解】解：




，
原式．
故答案为：，2．
【点拨】本题考查了分式化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．
18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【答案】（1）且
（2），
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得且；
【小问2详解】
解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点拨】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
19. 如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可．
【详解】证明：为等边的中线，

，

，

，


【点拨】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．
20. 首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．

组别
身高分组
人数
A

3
B

2
C


D

5
E

4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________；
（2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20，6，
（2）
【解析】
【分析】（1）用C组所占的比列出方程，即可求得m的值，再求出总数；用周角乘以D组所占的比，即可求出的度数；
（2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴

故填：20， 6，；
【小问2详解】
画树状图为：

或者列表为：

男1
男2
女1
女2
男1

（男1男2）
（男1女1）
（男1女2）
男2
（男2男1）

（男2女1）
（男2女2）
女1
（女1男1）
（女1男2）

（女1女2）
女2
（女2男1）
（女2男2）
（女2女1）

共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
（抽中两名女志愿者）．
【点拨】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题的关键．
21. 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．

（1）求证：
①是的切线；
②；
（2）若，，求．
【答案】（1）①见解析，②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证；
②连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可得证；
（2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解．
【小问1详解】
证明：①四边形是菱形，

，
，则
又为的半径的外端点，
是的切线．
②连接，

∵
∴
为直径，
，
而
，
又
．
【小问2详解】
解：连接交于．

菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
由得：，
．
【点拨】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；
（2）①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【解析】
【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；
（2）①依据题意列出不等式即可；
②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．
【小问1详解】
（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
【小问2详解】
①根据题意得：，
解得：且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元．
当时，，
即，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值3480．
当时，
整理得：，
，
随增大而增大．
当时，有最大值3630．
，
的最大值为3630，此时．
即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值．
23. 如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．

（1）如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①等腰直角三角形，见解析；②；
【解析】
【分析】（1）根据新定义，画出等联角；
（2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解；
②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示（方法不唯一）


【小问2详解】
①是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点作交的延长线于．

由折叠得，，
，，
四边形为正方形

又，

，而，

是等腰直角三角形．
②过点作于，交的延长线于，则．

，
，
由是等腰直角三角形知：，
，
，，而，
，
在中，，，
，
，
，
由，，
∴四边形为正方形，，
由，得：，
∴，
，而，
即，解得：，
由①知：，，
．
【点拨】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．
24. 已知：关于的函数．

（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）0或2或
（2）①6，②存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【小问1详解】
解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
【小问2详解】
解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，

，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．