2023年江西省数学中考真题(含解析

江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．

1. 下列各数中，正整数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据有理数的分类即可求解．

【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，

故选：A．

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．

2. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A.    B.    C.    D.  

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．

【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．

3. 若有意义，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．

【详解】解：∵有意义，

∴，

解得：，则值可以是

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

4. 计算的结果为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．

【详解】解：，

故选A．

【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

5. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．

【详解】解：依题意，，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．

6. 如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

【答案】D

【解析】

【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．

【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，

∴共有6个，

故选：D．

【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 单项式的系数为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．

【详解】解：单项式的系数是．

故答案是：．

【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．

8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．

9. 计算：（a+1）2﹣a2=_____．

【答案】2a+1

【解析】

【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．

【详解】（a+1）2﹣a2

=a2+2a+1﹣a2

=2a+1，

故答案为2a+1.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.

10. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．

【答案】

【解析】

【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．

【详解】解：∵直尺的两边平行，

∴，

又，

∴是等边三角形，

∵点，表示的刻度分别为，

∴，

∴

∴线段的长为,

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．

11. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．

【详解】解：∵和均为直角

∴，

∴，

∴

∵，

∴,

故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．

【答案】或或

【解析】

【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．

【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，

∵在中，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，，

∴

∴，

∴

∴，

如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，

当点在的延长线上时，如图所示，则

当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵

∴四边形是矩形，

∴

即是直角三角形，

综上所述，旋转角的度数为或或

故答案为：或或．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. （1）计算：

（2）如图，，平分．求证：．

【答案】（1）2；（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；

（2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．

【详解】解：（1）原式

；

（2）∵平分，

∴，

在和中，

，

∴．

【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

14. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；

（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．

【答案】（1）作图见解析   

（2）作图见解析

【解析】

【分析】（1）如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可；

（2）利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案．

【小问1详解】

解：如图，即为所求作的三角形；

  【小问2详解】

如图，即为所求作的点；

  【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．

15. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）

①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．

（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．

【答案】（1）②，③    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；

（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；

乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．

【小问1详解】

解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，

故答案为：②，③；

【小问2详解】

解：甲同学的解法：

原式

；

乙同学的解法：

原式

．

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．

（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）

（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．

【答案】（1）随机    （2）

【解析】

【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；

（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．

【小问1详解】

解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；

【小问2详解】

画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，

所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．

【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．

17. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．

（1）求直线和反比例函数图象的表达式；

（2）求的面积．

【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为   

（2）6

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．

【小问1详解】

解：∵直线与反比例函数的图象交于点，

∴，，即，

∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．

【小问2详解】

解：∵直线的图象与y轴交于点B，

∴当时，，

∴，

∵轴，直线与反比例函数图象交于点C，

∴点C的纵坐标为1，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．

（1）求该班的学生人数；

（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？

【答案】（1）该班的学生人数为45人   

（2）至少购买了甲树苗80棵

【解析】

【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；

（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．

【小问1详解】

解：设该班的学生人数为x人，

由题意得，，

解得，

∴该班的学生人数为45人；

【小问2详解】

解：由（1）得一共购买了棵树苗，

设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，

由题意得，，

解得，

∴m得最小值为80，

∴至少购买了甲树苗80棵，

答：至少购买了甲树苗80棵．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．

19. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保小数点后一位）

（1）连接，求证：；

（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．

（参考数据：）

【答案】（1）见解析    （2）雕塑的高约为米

【解析】

【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；

（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．

【小问1详解】

解：∵，

∴

∵

即

∴

即

∴；

【小问2详解】

如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，

∴，

∴

∴

在中，，

∴
 

（米）．

答：雕塑的高约为米．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

20. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

（1）求的长；

（2）若，求证：为的切线．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；

（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．

【小问1详解】

解：如图所示，连接，

∵是的直径，且，

∴，

∵E为上一点，且，

∴，

∴，

∴的长；

  【小问2详解】

证明：如图所示，连接，

∵，，

∴，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵是的半径，

∴是的切线．

    【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键

．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．

整理描述

初中学生视力情况统计表

高中学生视力情况统计图

（1）_______，_______；

（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；

（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：

②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．

【答案】（1）；；   

（2）；   

（3）①小胡说法合理，选择中位数，理由见解析；②11180人，合理化建议见解析，合理即可．

【解析】

【分析】（1）由总人数乘以视力为的百分比可得的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得的值；

（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；

（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由初中生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．

【小问1详解】

解：由题意可得：初中样本总人数为：人，

∴（人），；

【小问2详解】

由题意可得：，

∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为；

【小问3详解】

①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”

小胡的说法合理；

初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为这一组，

而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为的这一组，

而，

∴小胡的说法合理．

②由题意可得：（人），

∴该区有26000名中学生，估计该区有名中学生视力不良；

合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．

【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．

22. 课本再现

（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

己知：在中，对角线，垂足为．

求证：是菱形．

（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．

①求证：是菱形；

②延长至点，连接交于点，若，求的值．

【答案】（1）见解析    （2）①见解析；②

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；

（2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证；

②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解．

【小问1详解】

证明：∵四边形是平行四边形，

∴， ，

∵

∴，

在中，

∴

∴，

同理可得，则，

又∵

∴

∴四边形是菱形；

【小问2详解】

①证明：∵四边形平行四边形，．

∴

在中，，，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

∴四边形是菱形；

②∵四边形是菱形；

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图所示，过点作交于点，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．

六、解答题（本大题共12分）

23. 综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，

①当时，_______．

②S关于t的函数解析式为_______．

（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．

（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．

①_______；

②当时，求正方形的面积．

【答案】（1）①3；②   

（2），   

（3）①4；②

【解析】

【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；

（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，解得或，则；

（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，则．

【小问1详解】

解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，

∴当时，点P在上，且，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：3；

②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，

∴，

∵，，

∴，

∴；

【小问2详解】

解：由图2可知当点P运动到B点时，，

∴，

解得，

∴当时，，

由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，

∴可设S关于t的函数解析式为，

把代入中得：，

解得，

∴S关于t的函数解析式为，

在中，当时，解得或，

∴；

【小问3详解】

解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，

∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，

设是函数上的两点，则，是函数上的两点，

∴，

∴，

∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．

∴可以看作，

∴，

故答案为：4；

②由（3）①可得，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．