精品解析：北京市第一零九中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年一零九中学高二下学期期中数学考试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1. 已知数列满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.

【详解】.

故选:C

2. 若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用观察归纳法求出通项公式.

【详解】因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，

所以对照四个选项，正确.

故选：D

3. 已知数列的前n项和，则等于（    ）

A. 22 B. 30 C. 36 D. 42

【答案】B

【解析】

【分析】转化为求得解.

【详解】∵数列的前n项和，

∴，

∴，，

∴，

故选：B．

4. 在展开式中，的系数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】用二项式定理的通项公式展开，使得的系数为，可以确定的值，即可求得.

【详解】因为的通项为，当时，.

所以的系数为.

故选：B

5. 已知数列的通项公式为，则（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】根据通项公式代入计算可得.

【详解】因为，所以.

故选：B

6. 已知函数，则的值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数公式求出，进而可以求出结果.

【详解】.

.

故选:D

7. 、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（    ）

A. 24种 B. 12种 C. 48种 D. 23种

【答案】B

【解析】

【分析】利用捆绑法求解相邻问题．

【详解】由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，

故选：B．

8. 某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果.

【详解】分以下两种情况讨论：

若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，

此时不同的排法种数为种；

若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，

此时不同的排法种数为.

综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种.

故选：B.

9. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A. 在区间上，是增函数

B. 当时，取到极小值

C. 在区间上，是减函数

D. 在区间上，增函数

【答案】D

【解析】

【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;

对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.

【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．

故选：D.

10. 垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】A

【解析】

【分析】将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，

考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，

由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.

故选：A.

二、填空题

11. 在等比数列{an}中，，且，则＝___________．

【答案】8

【解析】

【分析】利用求解.

【详解】，

又an＞0，则

故答案为：8.

12. 已知{an}是单调递增的等比数列，a4+a5=24，a3a6=128，则公比q的值是___________.

【答案】2

【解析】

【分析】利用等比数列性质得到，再解方程组即可.

【详解】由等比数列性质知，

联立,解得或，

因为是单调递增的等比数列,所以，

即.

故答案为：2.

13. 的展开式中的常数项为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用二项式定理得到展开式通项公式，求出常数项.

【详解】的展开式通项公式为，

令，解得，

故，

所以展开式中常数项为.

故答案为：

14. 已知某质点的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的运动方程为，则该质点在秒时的瞬时速度为__________米/秒．

【答案】0

【解析】

【分析】根据导数的物理意义，该质点的瞬时速度即为某点关于位移的导数，求导然后代入即可.

【详解】根据导数的物理意义，对运动方程

求导得;，令 解得；

即该质点在秒时的瞬时速度为0，

故答案为：0

15. 某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为_____________.（取，）

【答案】

【解析】

【分析】根据与的关系可推导证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可得，进而解不等式可求得的范围.

【详解】由题意知：；

当时，，

，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，则，

令，则，

，解得：，

正整数的最小值为.

故答案为：.

三、解答题

16. 已知等比数列满足，，为数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的值

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到；

（2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.

【小问1详解】

设等比数列的公比为，则，解得：，.

【小问2详解】

，，解得：.

17. 在15件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：

（1）“恰有2件不合格品”的取法有多少种？

（2）“没有不合格品”取法有多少种？

（3）“至少有1件不合格品”的取法有多少种？

【答案】（1）660    （2）792   

（3）2211

【解析】

【分析】（1）因为取3件产品，恰有2件不合格品，即2件不合格品、一件合格品，利用组合数定义即可求到结果；

（2）没有不合格品，即全是正品，利用组合数定义即可求到结果；

（3）至多、至少问题，一般采用间接法求解.

【小问1详解】

（种）

【小问2详解】

（种）

【小问3详解】

（种）

18. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，在①，；  ②，；③，；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且______，求数列的前n项和.
 

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据，，成等比数列，由求解；

（2）选①，由，，得到时，求解；选②，由，，得到时，，两式相减求解；选③，由，，得到时，，两式相减求解.进而得到，再利用分组求和求解.

【小问1详解】

解：设等差数列的公差为d，

因为，，成等比数列，

所以，

解得或（舍去）.

 所以，.

【小问2详解】

选①，由，，

当时，，当时等式也成立，

所以，  

选②，由，，①

当时，，②

②-①得，即，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，

当时等式也成立，

所以，

选③，由，，①

当时

当时，，②

②-①得 ，即，又 ，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，       

则， 

，

19. 已知的数在处取得极值-14．

（1）求a，b的值；

（2）求曲线在点处的切线方程；

（3）求函数在上的最值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）函数在上的最小值为，最大值为.

【解析】

【分析】（1）求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；

（2）结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；

（3）结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.

【小问1详解】

因为函数，所以，

又函数在处取得极值.

则有，即，解得：，

经检验，时，符合题意，故.

【小问2详解】

由（1）知：则，，

故.

所以曲线在点处的切线方程为：，即

【小问3详解】

由（1）知：函数，则，

令，解得：，

在时，随的变化，的变化情况如下表所示：

由表可知：当时，函数有极大值；

当时，函数有极小值；

因为，，

故函数在上的最小值为，最大值为.

20. 设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求a的值．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，结合构造函数法进行求解即可.

【小问1详解】

的定义域为．．

若，则，在上单调递增．

若，则当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

【小问2详解】

由（1）知，若，则当时，，矛盾．

因此．由（1）知此时．

恒成立等价于恒成立．

设，即恒成立，

则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，所以，

显然函数在处有唯一零点，且．

而恒成立，所以，

所以．

21. 已知函数为实常数）．

（1）若，求证：在上是增函数；

（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；

（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析    （2）当时，函数有最小值为，

当时，函数有最大值为.   

（3）

【解析】

【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.

【小问1详解】

由题可知函数的定义域，

因为,所以，所以，

令解得，

所以在上是增函数.

【小问2详解】

因为,所以，所以，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数有最小值为，

因为，

所以当时，函数有最大值为.

【小问3详解】

由得，即，

因为，所以，所以，

且当时，所以在恒成立，所以，

即存在时，，

令，，

令，

令，解得，

令，解得，

所以在单调递减，单调递增，

所以，

所以时，恒成立，

所以，

所以实数的取值范围是.