广东省广州市执信中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题

2022-2023学年度第二学期

高二级数学科期末考试试卷

命题人：尧禄华 审题人：龚娅戬

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁和平整.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.复数，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.函数的部分图象大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

4.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（    ）

A.4    B.    C.2    D.

5.某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（    ）

A､相关系数变小

B､决定系数变小

C､残差平方和变大

D､解释变量与预报变量的相关性变强

6.已知函数，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的所有公共点从左到右分别为点，则（    ）

A.4    B.6    C.8    D.10

8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记为.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）

A.

B.

C.

D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（    ）

A.若随机变量的方差，则

B.若随机变量服从两点分布，，则

C.若随机变量服从二项分布，则

D.若随机变量服从正态分布，则

10.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.函数的最小正周期为

C.函数的图象的对称轴方程为

D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）

A.事件为互斥事件    B.事件为独立事件

C.    D.

12.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数，则下列说法中正确的有（    ）

A.

B.

C.为递减数列

D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数在处的切线方程为__________.

14.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.

15.某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有__________种.（用数字作答）

16.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前20项和.

18.（本小题满分12分）近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：

（1）依据小概率值的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？

（2）假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与事件有关的事件，利用公式：求解，现从装有只品种蜜蜂和只品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到品种蜜蜂为事件，第二次抽到品种蜜蜂为事件，求（用表示）

附：，其中.

临界值表：

19.（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥.

（1）若AB=2，BC=3，CD=，求的面积；

（2）若，求的最大值.

20.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.

21.（本小题满分12分）已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，判断函数零点的个数.

22.（本小题满分12分）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.

2022-2023学年度第二学期

高二级数学科期末考试参考答案

13.    14.60    15.36    16.2

部分选填解析：

4.【详解】由，得

所以为偶函数，故排除.

当时，，排除.

故选：C.

6.【详解】的定义域为，

因为，所以为偶函数，

所以，

当时，，

因为，所以，所以，

所以，所以在上单调递增，

因为在上单调递增，且，

所以，即，

因为在上为增函数，

所以，所以，即，

故选：A

7.【详解】由题意可得，设直线的方程为，

由题意可得直线与抛物线必有2个交点，

与抛物线相切，联立方程组，可得，

所以，解得，故直线的方程为，

与抛物线方程联立，得，

设，则，所以.

故选：C.

8.设和分别为轴和轴正方向的单位向量，则和的夹角为，根据平面向量基

本定理和坐标表示，可得

，故选A

11.不能同时发生，故互斥，所以对

，故对

不独立，故B错

，故D对

12.

是的变号零点，即方程的解

作出曲线和曲线如下图所示：

由图易知对

故B错误

因为随着增大，增大，逐渐与0接近，即与接近随着的增大而减小，故正确

由图可知，当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增，所以时，

取得极小值，所以，故D错误

16.如图，处的切线平分，延长交延长线于点，

为的中点，又为的中点，

17.（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

因为，所以，解得，所以，

由题意知：，因为，所以，

解得，所以；

（2）由（1）得，

.

18.（1）零假设为：蜜蜂进入不同颜色的蜂蜜䙮与蜜蜂种类没有关联（相互独立）

根据列表得，

所以依据的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，

品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为，

品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为，

依据频率分析，品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是品种的蜜蜂的两倍，

所以品种的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；

（2）由已知上式知，

则，

所以，

所以，

所以.

19.（1）在中，由余弦定理可得，

因为，所以，

所以的面积；

（2）设，，则，.

在中，由正弦定理可得，则，

在中，由正弦定理可得，则，

所以，

当时，取得最大值；

综上，的面积为，的最大值.

20.（1）证明：如图：

连接，在正方形中，

又平面，故.

而，是平面上的两条相交直线，

所以平面.

在中，为中位线，故.

所以平面.又平面，

所以平面平面.

（2）如图：

以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，，

，，设平面的一个法向量为，

则，即，取，

设，

则.

则，

整理得，解得或（舍去），

故，故到平面的距离，故.

因为，所以，

又，所以，

又，所以平面，

故到平面的距离为.

三棱锥体积为.

21.（1），

令得，

当时，，则函数在上单调递增，

当时，或时，，

时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，

当时，或时，，时，，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为.

（2）当时，函数仅有一个零点的个数，理由如下，

由（1）得当时，函数在，单调递增，在单调递减；则函数的极大值为，

且极小值为，令，，

则，，

所以在上单调递增，

所以，

所以当时，，

，

因为，所以，，可得，

综上，如下图，作出函数的大致图象，

由图象可得当时，函数仅有一个零点的个数.

22.（1）设椭圆的标准方程为，

由已知得解得所以椭圆的标准方程为.

（2）因为直线与圆相切，所以，

整理得.

由消去整理得，

因为直线与椭圆交于两点，

所以，

将代入上式可得恒成立.

设，则有，

所以.，

因为，

所以可得，

又因为点在椭圆上，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以的取值范围为.