安徽省芜湖市安徽师大附中2019-2020学年高一下学期线上质量评估（期中考试）数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com安徽师范大学附属中学2019~2020学年度第二学期线上教学质量评估高一数学

一、选择题

1.已知向量，，且，则实数（    ）

A.  B. 1 C. 4 D. -4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案.

【详解】由，可得，所以由，解得.

故选：D.

【点睛】本题考查了利用两个垂直向量的数量积为零以及向量数量积的坐标运算求参数的问题，属于基础题.

2.如图，在中，，，若，则(  )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据可得出，从而得出．

【详解】，；

；

．

故选C．

【点睛】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算．

3.已知，则在上的投影为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用投影公式计算得到答案.

【详解】，则在上的投影为：.

故选：.

【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影的理解.

4.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理即得.

【详解】由可得，解得，又且角B是的内角，故.

故选：B

【点睛】本题考查用正弦定理求角，是基础题.

5.在中,角所对的边分别为,若,,,则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦定理求解即可.

【详解】由题可知,因为,故.

故选：C

【点睛】本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题.

6.在中，角的对边分别是，已知，则的外接圆半径（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据余弦定理可以求出边，再利用正弦定理求出的外接圆半径即可.

【详解】由余弦定理可知：，

由正弦定理可知：的外接圆半径为.

故选：C

【点睛】本题考查了利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.

7.数列，，，，的一个通项公式是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.

【详解】，，，

所以其通项公式是：

故选：B

【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.

8.若数列满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.

【详解】因为，，

所以，，.

故选：A.

【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.

9.正项等差数列的前和为，已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由等差数列的性质可得，可求出，再利用等差数列前项和公式可求出.

【详解】由题意，可得，所以，解得或（舍），

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式的应用，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.

10.已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.

【详解】，，，，.

，.

故选：D.

【点睛】本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

11.在中，角所对的边分别为，①若，则；②若，则一定为等腰三角形；③若，则为直角三角形；④若为锐角三角形，则.以上结论中正确的有（    ）

A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④

【答案】D

【解析】

【分析】

结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案.

【详解】对于①，因为，所以，由正弦定理可知，，即①正确；

对于②，因为，所以或.若时，为等腰三角形；若，则，此时为直角三角形，故②不正确；

对于③，，由正弦定理可得，，故为直角三角形，即③正确；

对于④，因为为锐角三角形，所以，则，显然，，因为函数在上单调递增，所以，即，故④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角函数的性质，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

12.在中，，，，为的外心，若，、，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.

【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且，

，

同理可得，

，

由，可得，即，

解得，，因此，.

故选：C.

【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题

13.若向量与共线且方向相同，则___________．

【答案】2

【解析】

【分析】

向量共线可得坐标分量之间的关系式，从而求得n.

【详解】因为向量与共线，所以；由两者方向相同可得.

【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示，熟记共线向量的充要条件是求解关键.

14.在中，若，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

先由三角形内角和，得到，再由正弦定理，即可得出结果.

【详解】因为在中，，，

所以，

由正弦定理可得：，即，

解得.

故答案为

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.

15.在中，若，且，其中角所对的边分别为，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用正弦定理可得，进而可得到，即可求出的最小值.

【详解】由，利用正弦定理得，

即，

当时，取得最小值为，经验证，可以构成三角形.

故答案为：.

【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

16.设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前项和为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由递推关系，可求出的值，由，可知数列是以4为周期的数列，进而可得.

【详解】由，可得，

因，所以，同理可得，，，

所以数列是以4为周期的数列，且，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查数列求和，考查周期数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

三、解答题

17.在平面直角坐标系中，已知向量，，且.

（1）求向量的夹角；

（2）求的值.

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

（1）由，两边平方得，再将，，代入上式求解.

（2）由（1）知，求得，再利用平面向量的数量积运算求解.

【详解】（1）∵，平方得：

，

即：，

解得：，

又∵，

∴ .

（2）由（1）知，则.

所以

.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.在锐角中，角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边角转化，可求得，即可求出角；

（2）结合（1）的结论和三角形面积公式可求得，由余弦定理有 ，据此可求出，从而可得到的周长.

【详解】由，利用正弦定理得，

因为，所以.

又因为为锐角，所以.

（2）由，所以，

又，即，

则，即.

又，所以.

所以的周长为.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

19.设等差数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列通项公式及前项和公式，可得的方程组，解方程组即可确定数列的通项公式；

（2）根据数列的通项公式，代入数列，利用分组求和法即可求得数列的前项和.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由，

，即，

所以，解得，

所以.

（2）因为，

所以

.

【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前项和公式的简单应用，分组求和法的应用，属于基础题.

20.在中，为边上一点，，.

（1）求；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）4

【解析】

【分析】

（1），利用两角差的正弦公式计算即可；

（2）设，在中，用正弦定理将用x表示，在中用一次余弦定理即可解决.

【详解】（1）∵，

∴，

所以，

.

（2）∵，

∴设，，

在中，由正弦定理得，，

∴，

∴，

∵，

∴

∴.

【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

21.若是各项均为正数的数列的前项和，且.

（1）求值；

（2）设，且数列的前项和满足对任意正整数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，问：是否存在正整数，使得对一切正整数恒成立？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1），；（2）或；（3）存在，

【解析】

【分析】

（1）令，可求出，令，可求出，进而可求得的值；

（2）先求出的表达式，进而可求出的表达式，再结合，可求出，并得到，从而可知，即可求出的取值范围；

（3）由，可知当时，，当时，，从而可知时，对一切正整数恒成立.

【详解】（1）当时，，解得，

因为数列各项均为正数，所以.

当时，，又，解得，

由，解得.

（2）因为，

所以，又，所以.

当时，，

当时，

时也符合上式，所以.

则，

所以.

所以，解得或.

（3）因为，

所以

当时，，所以，

当时，，所以.

所以时，对一切正整数恒成立.

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，考查裂项相消法求和的应用，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.