黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析

这是一份黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析，共17页。试卷主要包含了下列命题正确的是，已知满足，的夹角为，则，已知点，向量，若，则实数的值为，已知向量，向量，若与垂直，则，在中，若，则的形状是等内容，欢迎下载使用。
www.ks5u.com大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高一年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列命题正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量加减法法则可判断A、B、D选项的正误，利用平面向量数量积的定义可判断C选项的正误.【详解】由平面向量加减法法则可得，，，由平面向量数量积的定义可得.所以，A、B、C选项错误，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查平面向量加减法法则的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于基础题.2.已知为坐标原点，，，则点的坐标是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的坐标运算，求得的坐标.【详解】依题意，所以的坐标为.故选：B【点睛】本小题主要考查向量加法的坐标运算，属于基础题.3.已知满足，的夹角为，则     （    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的定义及运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量满足，的夹角为，则.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及运算，其中解答中熟记向量的数量积的概念及运算公式是解答的关键，考查了计算能力.4.已知点，向量，若，则实数的值为（    ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 6【答案】C【解析】【分析】先求得，然后根据向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题.5.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，，则解的个数是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理求出，有两个值，由此可得答案.【详解】在中，由余弦定理得，所以，即，解得或，所以解的个数是2.故选：C【点睛】本题考查了利用余弦定理判断三角形的解得个数，属于基础题.6.已知向量，向量，若与垂直，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据与，得出与的坐标，再由与垂直得到，进而即可得到答案.【详解】解：因为，，所以，.因为与垂直，所以，所以，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积，考查学生的计算能力，属于基础题.7.在中，若，则的形状是（    ）A. C为直角的直角三角形 B. C为钝角的钝角三角形C. B为直角的直角三角形 D. A为锐角的三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理角化边，根据立方和公式变形化简可得，由此可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以为直角.故选：C【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边判断三角形的形状，属于基础题.8.已知非零向量满足，且，则与夹角为(    )A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的值．【详解】，即.，.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．9.在中，若，则的形状是（    ）A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的基本关系式和题设条件，得到，结合正弦定理化简得到，结合三角形的性质，即可求解.【详解】在中，因为，可得，即，又由正弦定理知，即，可得，所以钝角三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正弦定理的边角互化，以及三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（    ）A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心【答案】B【解析】【分析】由所给等式利用数量积的定义可得，推出O点为的角平分线上的点，同理O点为的角平分线上的点，即可判断.【详解】，，即，，O点为的角平分线上的点，同理可得O点为的角平分线上的点，所以O点为△ABC角平分线的交点，O点是一定是△ABC的内心.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算律、三角形内心的概念，属于中档题.11.已知，且，则在方向上的投影为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】∵∴∴在方向上的投影为故选A12.在△中，，，则△的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由于，化简，，求得模长，根据数量积的坐标公式求得夹角的余弦值，计算可得，根据面积公式计算即可求得结果.【详解】，，,,得，，由于与的夹角为，，，，因此面积为：，故选:B.【点睛】本题考查向量的坐标表示，数量积公式的灵活应用，考查三角形面积的计算，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13.已知向量，，，则________.【答案】5【解析】【分析】本题首先可以根据得出，然后根据得出，最后通过化简即可得出结果。【详解】因为，所以，因为，所以，即，。【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若，则，考查计算能力，是简单题。14.在平行四边形ABCD中，F是CD边中点，AF与BD相交于E，设，，用表示 ______【答案】【解析】【分析】由题画出图形，结合相似三角形可得，再结合向量加法的线性运算即可求解.详解】如图，由已知可得：，故,故，又,故.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，用基底向量表示任意向量的方法，属于基础题.15.在锐角中，三个内角对应的三边分别为，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_________．【答案】①④【解析】【分析】根据锐角三角形中三个内角范围得：，由此可对结论①②进行判断，再根据数量积的定义对③进行判断，最后根据余弦定理对④进行判断.【详解】因为为锐角三角形，所以，，，又，所以，所以，即，所以故，即，故①正确；因为，所以，即，又，，所以，所以，即，故②错误；因为，又，所以，故③错误；因为由余弦定理知：，又，所以，即，故④正确；综上，①④正确.故答案为：①④.【点睛】本题将锐角三角形的性质与三角函数、向量、解三角形等知识综合进行考查，解题关键在于得到锐角三角形中任意两个角的和大于，小于，考查计算和转化能力，属于中档题.16.在△中，，边上的高等于，则_______【答案】【解析】【分析】结合勾股定理和余弦定理，求出，在由三角形的面积公式，即可求得的值.【详解】在中，，边上的高等于，所以，由余弦定理得,所以,解得.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解答的关键，着重考查了运算、求解能力.  三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．）17.已知向量，且，．（1）求；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据向量的平行和垂直的坐标运算可得解；（2）由（1）可得出向量，再由向量的模的坐标运算可得值.【详解】（1）向量又解得解得，（2）由（1）得，.【点睛】本题考查向量的平行、垂直、向量的模的坐标运算，属于基础题.18.已知向量，（1）求向量与的夹角;（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式，计算出向量与的夹角的余弦值，由此求得向量与的夹角.（2）根据两个向量垂直的条件列方程，解方程求得的值.【详解】（1），，..所以向量与的夹角为．  （2）解得.【点睛】本小题主要考查向量数量积、夹角的计算，考查向量垂直的条件，属于中档题.19.如图，在中，为中点，，．（1）求的长度；（2）求．【答案】（1）4；（2）．【解析】【分析】（1）由两边平方，根据数量积计算即可；（2）利用及三角形面积公式可得，即可求解.【详解】（1）设，因为，所以由题知，于是有   解得  所以，   （2）由为中点得，根据三角形面积公式可得，解得，，因为，
所以，．【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义、运算性质，三角形面积公式，属于中档题.20.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即向方位角为方向，以mile/h的速度前去营救，求舰艇与渔轮相遇时所需的最短时间和．【答案】所需最短时间为h ，【解析】【分析】设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理求得的值，再在△ABC中，根据正弦定理，求得的值，即可求解.【详解】如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－ (舍去)，所以舰艇与渔轮相遇时所需的最短时间为h． 此时AB＝14，BC＝6．在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以sin∠CAB＝＝，即所以舰艇所需最短时间为h ，此时．【点睛】解三角形实际问题或多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果.21.（本小题满分分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若=1，求△ABC的周长l的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】本试题主要是考查了解三角形中边角的转化，以及正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数性质的值域问题等等的知识点．（1）利用正弦定理化变为角，得到关于角A的关系式，然后利用三角方程求解得到（2）利用正弦定理表示各个边，然后利用周长公式得到关于角的三角函数关系式借助于值域来求解得到范围．解：（Ⅰ）由得又，，，又…………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：,故的周长的取值范围为. …………………………………12分（Ⅱ）另解：周长由（Ⅰ）及余弦定理所以又即的周长的取值范围为. …………………………………12分22.已知，在中，内角所对的边的长分别为且．（1）求的值；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）由，联立，得，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到答案；（2）利用正弦定理和，得，由角B的范围，即可得到答案.【详解】（1）法一：，所以所以；（1）法二：，化简可得，由正弦定理可得   化简整理得，所以；         （2）由题意知道，可得，【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题，属于中档题.