湖北省四校（曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中）2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019—2020学年下学期高一期中考试数学试题

一､选择题.(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目的要求.)

1.若，则下列命题中为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据特殊值法可判断选项A、B错误，根据基本不等式可判断C错误，利用不等式及绝对值的性质可知D正确.

【详解】A中取，则，故结论错误；

B中取，则，故结论错误；

C中由，可知，当且仅当时等号成立，故，结论错误；

D中，则，故，结论正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，基本不等式，特值法，属于中档题.

2.（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据诱导公式及两角和的余弦公式计算即可求解.

【详解】，

，

故选：D

【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角和的余弦公式，属于中档题.

3.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ）

A. 07 B. 04 C. 02 D. 01

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据题意找到第一个数字，因为有个个体，故舍去.然后再按照由左到右依次选取两个数字，即可找到第个数字.

【详解】由题知：第一个数为，不符合条件，

第二个数为，不符合条件，

第三个数为，符合条件，

以下符合条件的数字依次是，，，，，

故第个数字为.

故选：B

【点睛】本题主要考查随机数表法，熟练掌握随机数表法的步骤为解题的关键，属于简单题.

4.在平行四边形中，为上任一点，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的加法、减法运算即可求解.

【详解】,

又四边形平行四边形，

，

故选：A

【点睛】本题主要考查了向量的加法、减法运算，相反向量，向量相等，属于容易题.

5.不等式的解集为，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分与两类情况讨论，时验证即可，时利用二次不等式恒成立求解.

【详解】若时，显然不成立，故解集为，

若时，二次不等式的解集为，

需满足，

解得，

故的取值范围为，

故选：D

【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，属于中档题.

6.年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国齐心抗击疫情，基本上控制住了疫情.下图为月日至月日我国新型冠状病毒肺炎全国总新增确诊人数和新增境外输入确诊人数趋势图(数据国家卫健委官网)，则下列表述中错误的是（    ）

A. 3月上旬全国总新增确诊人数呈波动下降趋势.

B. 3月中下旬全国总新增确诊人数开始反弹的主要原因是境外输入病例的增加.

C. 全国总新增确诊人数随着境外输入确诊人数变化而变化.

D. 4月中下旬国内新增确诊人数呈越来越少的趋势.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据统计图判断选项即可

【详解】从统计图可知，A选项3月上旬全国总新增确诊人数呈波动下降趋势正确；

B选项3月中下旬全国总新增确诊人数开始反弹的主要原因是境外输入病例的增加正确；

C选项因为图中境外输入对总人数影响较小，所以全国总新增确诊人数随着境外输入确诊人数变化而变化错误；

D选项4月中下旬国内新增确诊人数呈越来越少的趋势正确.

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据图象识别数据结论的能力，属于容易题.

7.在中， 分别是内角所对的边，若， 则形状为（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件利用余弦的二倍角公式可化简得A=B，即可求解.

【详解】,

,

,

或，

即或（舍去），

所以三角形为等腰三角形.

故选：A

【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式，诱导公式，属于容易题.

8.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾､坤､震､巽､坎､离､艮､兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

图中共有八卦，其中有2个阳爻的有3个卦，利用古典概型即可求解.

【详解】八卦图中任取一卦，共有8种取法，其中取得含有2个阳爻的共有3种取法，

所以从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为.

故选：C

【点睛】本题主要考查了古典概型概率的求法，属于容易题.

9.我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比，该三角形被认为是最美的三角形.根据这些信息，可得=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知，利用余弦的二倍角公式可求解.

【详解】因为三角形底和腰之比为黄金分割比，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式，正弦函数的定义，属于中档题.

10.正方形的边长为，是正方形内部(不包括正方形的边)一点，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

分别以AB, AD所在的在直线为x，y轴，建立直角坐标系，设，根据可知，而，根据其几何意义可求.

【详解】分别以AB, AD所在的在直线为x，y轴，建立直角坐标系，如图：

设，则，

，

，

即，

则，

其几何意义为在直线x+y=1位于正方形内取一点使其到原点A的距离最小.

故当与直线x+y=1垂直时，最小，

根据点到直线的距离可知.

故选：B

【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算，向量模及向量模的几何意义，属于中档题.

11.下列说法中错误的是（    ）

A. 命题“，”的否定是“，”.

B. 在中，.

C. 已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.

D. 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.

【答案】C

【解析】

【分析】

选项A根据命题的否定判断，选项B根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C可根据均值及方差的性质判断，选项D根据互斥事件与对立事件的定义判断即可.

【详解】A中根据命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”正确；

B中可知，根据正弦定理可得,同理可知由可得，可得，

即,因为在上单调递减，且，所以，故正确；

C中设原数据中方差为，则加入一个新数据3后平均值为，方差为，故不正确；

D中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生，

故互斥且对立正确.

故选：C

【点睛】本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.

12.设分别是的内角A，B，C的对边，已知D是BC边的中点，且，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算及数量积的定义可得，利用余弦定理及条件即可求解.

【详解】设M是AB边上的中点，

又D是BC边的中点，

所以,

,

,

，

，

故选：C

【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，向量的线性运算，余弦定理，属于难题.

二､填空题.(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)

13.已知向量，，则向量在方向上的投影为______

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量在向量方向上投影定义计算即可.

【详解】向量在方向上的投影为:

,

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影，向量数量积、向量模的坐标运算，属于基础题.

14.“中国式过马路”的大意是凑够一撮人即可走，跟红绿灯无关.部分法律专家的观点为“交通规则的制定目的就在于服务城市管理，方便行人，而‘中国式过马路’是对我国法治化进程的严重阻碍，反应了国人规则意识的淡薄.”某新闻媒体对此观点进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“中立”和“不支持”态度的人数如表所示：

在所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取人，则持“支持”态度的人中20岁及以上的有_________人

【答案】

【解析】

【分析】

参与调查人数共2000人，抽取100人，抽样比为，据此按分层抽样即可求出结果.

【详解】因为参与调查人数共2000人，抽取100人，

所以抽样比为

根据分层抽样知，在持“支持”态度的人中20岁及以上的有人，

故答案为：10

【点睛】本题主要考查了分层抽样，数据处理实际问题，属于容易题.

15.若，且，则_________

【答案】

【解析】

【分析】

由两边平方可求出，进一步求出的值，解出，求出，由正切的二倍角公式即可求解.

【详解】①

,

,

,

又，

②

由①②得，，，

，

，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了,,的关系，同角三角函数的基本关系，正切的二倍角公式，属于中档题.

16..已知实数，满足，则的最小值是______

【答案】

【解析】

【分析】

将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求最小值.

【详解】,

,

,当且仅当时，即当时，等号成立，

因此的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查了计算能力，属于难题.

三､解答题.(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或必要的演算步骤.)

17.已知在同一平面内，且.

（1）若，且，求；

（2）若，且，求与的夹角的余弦值.

【答案】（1）或.（2）

【解析】

【分析】

（1）设，根据向量的模及，列出方程求解即可；

（2）由，得，化简得，代入夹角公式即可得结果.

【详解】（1）设

 ∵，，

，

∵，

 ∴，

∴，

即，

∴或

∴或

（2）∵，

 ∴，

∴，

即

又∵，

∴，

 ∴，

 ∴与的夹角的余弦值为

【点睛】本题主要考查了向量数量积、模的坐标运算，向量共线的坐标运算，夹角公式，属于中档题.

18.（1） 计算：

（2） 计算：

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

（1）根据，利用两角和的正切公式计算即可；

（2）切化弦后根据余弦的二倍角公式及两角差的正弦公式化简即可求值.

【详解】（1）  

（2）

【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，涉及二倍角公式，两角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，属于中档题.

19.已知命题：“，使得”为假命题.

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）.（2）或

【解析】

【分析】

（1）写出命题的否定得恒成立，列出满足条件的不等式即可求解；

（2）根据题意知集合是集合的真子集，分类讨论，分别列出满足的不等式求解即可.

【详解】（1）命题“，使方程”是真命题.

只需，

解得，

于是可得：

（2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集.

当时，，不合题意，

当时，，

由AB可得：，

解得；

当时，，

由AB可得：，

解得；

综上或.

【点睛】本题主要考查了存在性命题的否定，二次不等式恒成立，由包含关系求参数，属于中档题.

20.我市在经济高速发展的同时，根据中央文明委办公室2017年度颁布的《全国文明城市(地级以上)测评体系》标准，特制了创建全国文明城市三年行动计划(2018-2020年).在城市环境卫生的治理方面，经过两年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中.

（1）求被调查市民满意程度的平均数与中位数(精确到小数点后三位)；

（2）若按照分层抽样的方式从中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在的概率.

【答案】（1）平均数为：，中位数：.（2）

【解析】

【分析】

（1）先根据频率分布直方图求出，再利用频率分布直方图求平均值与中位数即可；

（2）列出抽取2人的所有情况，找到满足至少有1人的分数在的事件个数，根据古典概型求解.

【详解】（1）由频率分布直方图得：

，

，

又，

解得，

平均数为：

中位数：

（2）依题意可得：两段频率比为，

按照分层抽样的方式从中随机抽取6人，

分数在中抽取2人，记为，，

分数在中抽取4人，记为，，，

从这6人中随机抽取2人的所有情况为：

，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，，，，

共15个基本事件，

其中，至少有1人的分数在包含的基本事件有9个，

至少有1人的分数在的概率

【点睛】本题主要考查了利用频率分布直方图求均值，中位数，分层抽样，古典概型，属于中档题.

21.在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知，.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理可得，由余弦定理写出，代入，化简即可求解；

（2）由（1）可得，代入化简可得，利用三角函数求值域即可.

【详解】（1）∵

∴由正弦定理得

又∵   

 ∴

根据余弦定理得：

又因为，

所以

（2）因为，

所以

则

因为三角形为锐角三角形且，

所以

则，

于是：，

即的取值范围为

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，利用三角函数求值域，属于中档题.

22.在中，，且的角平分线与边相交于点.

（1）若求的长；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理求出,再由正弦定理求出正弦，利用内角和定理知，求出后在中，利用正弦定理求边长，也可利用及三角形面积公式求解；

（2）设，根据得，由余弦定理及基本不等式求出，进而求出的范围，根据，利用函数单调性求范围即可.

【详解】（1）方法一：

因为，

所以

因为，所以.              

所以

所以

因 ，

所以

方法二：由可得：

于是：

（2）设，由题意得，

所以

根据余弦定理，可得，

所以，

所以， 

又由，得，

所以

所以

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的灵活运用，考查了基本不等式，考查了推理运算能力，属于难题.