吉林省松原市前郭县第五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com前郭五中2019--2020学年度高一下学期期中考试

数学学科试卷

一、选择题（每小题5分）

1.数列，2，，8，，…它的一个通项公式可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据数列中的项,依次代入各选项,即可判断通项公式.

【详解】将代入四个选项可得为,B为,C为,D为.所以排除B、C选项.

将代入A、D,得A2,D为,所以排除D

综上可知,A可以是一个通项公式

故选：A

【点睛】本题考查了数列通项公式的判断,属于基础题.

2.不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分子是否为零进行分类讨论，利用转化法，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】当时，即时，不等式成立；

当时，即时，

所以有，

综上所述：不等式的解集为.

故选：D

【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了转化思想，考查了数学运算能力.

3.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理,代入即可求解.

【详解】根据正弦定理可知

因为中,,,

代入正弦定理可得

所以

故选:C

【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.

4.已知不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集为，则（    ）

A. 1 B. 0 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求出集合、，根据交集的定义求出，结合一元二次方程根与系数进行求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因此，于是有，

故选：D

【点睛】本题考查了解一元二次不等式，考查了集合交集的定义，考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力.

5.设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A. 36 B. 72 C. 144 D. 70

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列下标性质，结合等差数列的前项和公式进行求解即可.

【详解】因为数列是等差数列，

所以由，

因此.

故选：B

【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了等差数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.

6.若的三个内角，，满足，则是（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得，从而得到三角形为钝角三角形.

【详解】由正弦定理可得：，则，

由余弦定理可知：

又   

为钝角三角形

本题正确选项：

【点睛】本题考查三角形形状判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.

7.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质得出参数满足的关系．

【详解】∵时，不等式恒成立，

∴，解得．

故选C．

【点睛】本题考查二次不等式恒成立问题，二次不等式在某个区间上恒成立，可结合二次函数的图象与性质求解．

8.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（    ）

A. 16 B. 8 C. 2 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据得到，，根据得到，再计算即可.

【详解】因为，所以，整理得：.

因为，所以.

因，解得，.

故选：D

【点睛】本题主要考查等比数列的前项和，同时考查了等比数列的性质，属于简单题.

9.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则角等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

运用正弦定理实现边角转化，然后根据三角形内角和定理、两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】由正弦定理可知；，

所以由，

因为，所以有，

因此，

又因为，所以，

因此，而，所以.

故选：A

【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.

10.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（    ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】C

【解析】

∵，∴，∴，，∴，，∴满足的正整数的值为12，故选C.

11.在等比数列中，，是方程的根，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程的根与系数关系进行求解即可.

【详解】因为，是方程的根，

所以有，因此，，

由等比数列的性质可知：，而，

.

故选：B

【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了数学运算能力.

12.“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据“斐波那契”数列的定义，可得，，，，，将以上2017个等式相加可得结果.

【详解】因为数列为“斐波那契”数列，所以，，

所以，，，，，

将以上2017个等式相加可得，

，

即，

所以，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查了数列的递推关系式，属于基础题.

二、填空题（每小题5分）

13.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则_______．

【答案】2

【解析】

【分析】

利用同角的三角函数关系式中平方和关系求出的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.

【详解】因为，所以,

因此有，

所以.

故答案为：2

【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，考查了三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力.

14.已知，，且满足，则的最小值为__________．

【答案】16

【解析】

【分析】

将所求式子变为，整理为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.

【详解】∵，∴,

故答案为16.

【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是构造出符合基本不等式的形式，从而得到结果，属于常规题型.

15.数列，，，…，，…的前10项和为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由,利用裂项求和即可得答案.

【详解】，
，

所以前10项和为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了数列求和的裂项求和方法的应用,解题中要注意右面的系数是解题中容易漏掉的，属于中档题.

16.已知台风中心位于城市东偏北（为锐角）的150千米处，以千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市西偏北（为锐角）的200千米处，若，则_______千米/时．

【答案】100

【解析】

【分析】

设台风中心位于处， 台风中心2.5小时后到达处,则在中， ，,，由正弦定理得，得，又，由，可解得，故，，从而可得，由余弦定理得，即可解答答案.

【详解】根据题意，设台风中心位于处， 台风中心2.5小时后到达处,如图

在中， ，,

由余弦定理得

整理得  ①，

由正弦定理得，得

又，由，所以

解得，故，，

故，

代入①解得，即

所以，则.

故答案为：100.

【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在点东西向和是平行的，内错角相等，将已知角都转移到中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形,属于中档题.

三、解答题

17.若，满足约束条件，求：

（1）的最大值．

（2）的最小值．

（3）的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）首先画出不等式表示的可行域，并求出可行域顶点的坐标，再根据目标函数表示直线的轴截距，结合图形即可得到答案.

（2）根据目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率，再结合图形即可得到答案.

（3）根据目标函数表示可行域内的点与点距离的平方，再结合图形即可得到答案.

【详解】（1）不等式组表示的可行域如图所示：

，.

，.

由得到，表示直线的轴截距.

当直线过时，取得最大值，.

（2），

表示可行域内的点与点连线的斜率，由图知：

当点与点连线时，斜率最小.

故.

（3）因，

表示可行域内的点与点距离的平方，由图知：

当点与点连线时，距离最大.

故.

【点睛】本题主要考查线性规划问题，理解目标函数的几何意义为解题的关键，属于中档题.

18.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.

（1）若，求的通项公式；            

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】

（1）根据题意，列出公差和公比的方程，求得基本量，即可求得数列的通项公式；

（2）根据等比数列的前项和，求得公比和公差，利用等差数列的前项和公式，即可求得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则，

由题意可得：，则

即，解得或（舍去）

因此的通项公式为.  

（2）由题意可得：，

则，解得或，

或.

【点睛】本题考查等差数列和等比数列基本量的计算，涉及通项公式和前项和公式，属综合基础题.

19.在中，角所对的边分别是，且.

（1）求；

（2）若，求.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理到，得到答案.

（2）计算，再利用余弦定理计算得到答案.

【详解】（1）由，可得

,

因为，所以，所以.

（2），又因为，所以.

因为，所以，即.

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.

20.在数列中,,.

（1）设,证明数列是等差数列；

（2）求的前项和

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）由已知可得,即,,即可即可证明.

（2）由（1）知,可得,利用错位相减法和等比等比和数列的求和公式即可得出.

【详解】证明：（1）将两边同除以,得

即,

所以是,的等差数列

解:（2）,即

①

②

①-②得

解得

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与错位相减求和法,考查了推理能力,属于中档题.

21.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理可得答案；

（2）根据正弦定理得到，．再利用三角恒等变换公式可得，然后根据锐角三角形可得的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.

【详解】（1）由正弦定理以及，

得，所以，

因为，所以.

（2）由，得，．

所以

，

因为三角形为锐角三角形，所以，所以，

所以，∴，

∴．

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、锐角三角形概念、三角恒等变换以及利用正弦函数的图象求范围，属于中档题.

22.已知数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式．

（2）当时，不等式总成立，若，对任意正整数，恒成立，求整数的最小值．

【答案】（1）；（2）3．

【解析】

【分析】

（1）根据，结合已知的递推公式、等比数列的定义进行求解即可；

（2）由（1）求出数列的通项公式，对已知不等式进行变形，然后运用累加法，结合等比数列前项和公式、指数函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1），

，

得：，

所以，

当时，∴，

∴是以1为首项，以2为公比的等比数列．

∴．

（2）由（1）知，，且当时，不等式总成立，∴，∴，，累加：

……

累加得：

，

∴，∴的最小值为3．

【点睛】本题考查了利用递推公式求等比数列的通项公式，考查了利用函数不等式解决数列不等式恒成立问题，考查了累加法的应用，考查了等比数列前项和公式、指数函数的单调性的应用，考查了数学运算能力.