江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.的内角的对边分别为，若，，，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据正弦定理即可求出．

详解】，

由正弦定理可得，则，

故选C．

【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.

（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；

（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；

（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.

2.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（    ）

A. 900 B. 1200 C. 1500 D. 1800

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.

【详解】解：由题意知，高三年级抽取了：人，

高三年级抽取的人数占总抽取人数的比例数为：

所以该校学生总人数为：人

故选：B.

【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.

3.某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是

A. 至少有一次中靶 B. 只有一次中靶

C. 两次都中靶 D. 两次都不中靶

【答案】C

【解析】

【分析】

至多有一次的反面是至少有两次.

【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.

【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.

4.已知两个变量x、y之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下：

经计算得回归方程的系数，则（    ）

A. 0.45 B. -0.45 C. -0.35 D. 0.35

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平均数求出样本的中心点坐标，将其代入回归直线方程即可.

【详解】由题意，，，

所以，样本中心点坐标，

因回归直线方程为，样本中心点在回归直线上，

所以，，即.

故选：D.

【点睛】本题考查线性回归方程系数的求法，在线性回归分析中，样本中心点在回归直线上，属于基础题.

5.直线与直线平行，则两直线间的距离为（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行得到，排除重合的情况得到，再利用平行直线距离得到答案.

【详解】直线与直线平行，则，

解得或，

当时，两直线均为，两直线重合，舍去；

当时，直线和，即的距离为.

故选：C.

【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，平行直线距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.

6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案．

【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得，

设收集的48个准确数据分别记为，

则

，

，

故．选A．

【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．

7.P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须点到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.

【详解】解：∵圆，
∴圆心，半径.
由题意可知，
点到圆的切线长最小时，
直线.
∵圆心到直线的距离，
∴切线长的最小值为：.
故选：C.

【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

8.在中，分别是角的对边，若，则的最小值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理可得,代入到中,再利用均值定理求解即可

【详解】由正弦定理可得,

所以,

由于,当且仅当时等号成立,所以,

故的最小值等于,

故选:C

【点睛】本题考查利用正弦定理化角为边,考查余弦定理应用,考查利用均值定理求最值

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，选错或漏选不得分）

9.下列说法正确的是（    ）

A. 直线必过定点

B. 直线在轴上的截距为

C. 直线的倾斜角为60°

D. 过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.

【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；

令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；

可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；

设过点且垂直于直线的直线的斜率为

因为直线的斜率为，所以，解得

则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.

10.在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. ,则

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用正弦定理和同角关系对每一个选项分析判断得解.

【详解】A. 若，则所以，所以该选项是正确的；

B. 若，则，所以该选项是正确的；

C. 若，设,所以该选项错误.

D. ,则所以,故该选项正确.

故选A,B,D.

【点睛】本题主要考查正弦定理，考查同角三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

11.以下对各事件发生的概率判断正确的是（    ）

A. 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是

B. 从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为

C. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是

D. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

【答案】BCD

【解析】

【分析】

结合选项，利用树状图和列举法，求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，逐项求解，即可求解.

【详解】对于A中， 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有种情形，

结合树状图，可得玩一局甲不输的情况，共有种情形，

所以玩一局甲不输的概率是，所以A不正确；

对于B中，设1名男生为，两名女生分别为，

则从这3人中选取2人包含：，共3种选法，

其中选中一男一女同学包含：，

所以选中一男一女同学的概率为，所以B正确；

对于C中，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果，

其中点数和为6的有：，共有5种，

所以点数之和是6的概率是，所以C正确；

对于D中，从三件正品、一件次品中随机取出两件，

则取出的产品全是正品的概率是，所以D是正确的.

故选：BCD。

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用树状图和列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，以及计算能力.

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点所构成的曲线为，下列结论正确的是(  )

A. 的方程为

B. 在上存在点，使得到点的距离为

C. 在上存在点，使得

D. 在上存在点，使得

【答案】BD

【解析】

【分析】

通过设出点P的坐标，利用，即可求出曲线的轨迹方程，然后假设曲线上一点坐标，根据BCD选项逐一列出所满足条件，然后与的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.

【详解】设点，由，

得，化简得，即，故A选项错误；

对于B选项，设，由到点的距离为，得，又，联立方程可知有解，故B选项正确；

对于C选项，设，由，得，又，联立方程可知无解，故C选项错误；

对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力和计算能力，属中档题.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品．若生产中出现二级品的概率0.02，出现三级品的概率为0.01，则出现正品的概率为______．

【答案】0.97

【解析】

【分析】

直接利用概率和为1计算得到答案.

【详解】出现正品的概率为.

故答案为：0.97.

【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.

14.已知为正实数且，则的最小值为______．

【答案】9

【解析】

【分析】

所求的式子中 “1”用 代入，用基本不等式，即可求解.

【详解】解：，因为 ，则，

当且仅当，即时等号成立，此时最小值为.

故答案为:9.

【点睛】本题考查基本不等式求最值.合理运用条件等式是解题的关键，属于基础题.

15.在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________________.

【答案】

【解析】

【分析】

设出圆心和半径，根据点在圆上且直线与圆相切列方程组，解方程组求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.

【详解】根据题意，圆心在直线上，则设圆心为，半径为，

又由圆过点且与直线相切，则有，

解可得：，

则圆的方程为.

故答案：

【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心以及半径，属于基础题.

16.在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是________．

【答案】(－3，－1]∪[7,9)

【解析】

由圆的方程知，圆心C(m,2)，半径r＝2，

所以S△ABC＝r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，

所以当∠ACB＝时，S△ABC取得最大值20，

此时△ABC为等腰直角三角形，|AB|＝r＝4，

则点C到直线AB的距离为2，

所以2≤|PC|<2，

即2≤ <2，

解得－3<m≤－1或7≤m<9.

点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17.已知直线l：x＋2y－2＝0.

（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；

（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．

【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.

【解析】

【分析】

（1）先求出两直线的交点P(2,0)，再求出，即得直线l2的方程；（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0，求出m的值即得解.

【详解】（1）由解得交点P(2,0)．

在l1上取点M(0，－2)，

M关于l的对称点设为N(a，b)，

则,

解得，所以，

又直线l2过点P(2,0)，

所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.

（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，

所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.

在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，

所以,所以m＝－4，

即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.

【点睛】本题主要考查点和直线的对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18.在中，角的对边分别为，且．

（1）求的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由，利用正弦定理将边转化为角得到，再由三角形内角和定理和诱导公式有，代入上式化简得到 求解.

（2）根据，，，利用余弦定理求得，然后代入公式求解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得，，

由三角形内角和定理和诱导公式可得，

，

代入上式可得，，

所以．

因为，所以，即．

由于，所以．

（2）因为，，

所以由余弦定理，

得，

解得或（舍）.

所以.

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：．其中成等差数列且．

物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）

（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；

（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率．

【答案】（1）117.8分；（2）

【解析】

【分析】

（1）计算，再利用平均值公式计算得到答案.

（2）计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.

【详解】（1），

解得，

故数学成绩的平均分：

    .

（2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，

因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人.

设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，

则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，

符合题意的情况有：，

故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.

【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20.（1）已知，求最大值及取最大值时的值；

（2）若对一切，均有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）由基本不等式可得即可求出最大值及此时的值；

（2）不等式转化为对恒成立,参变分离得对恒成立，通过设对其进行整理变形为，结合基本不等式，即可求出最值，从而可确定实数的取值范围.

【详解】（1）因为，所以，当且仅当，

即时等号成立．所以当时，取最大值是．

（2）不等式可等价转化为对恒成立，

即对恒成立，设，则 ，

，

因为，所以，所以，

当且仅当等号成立，所以.所以，所以实数的取值范围是．

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了不等式恒成立问题.对于第二问，关键是参变分离后，对函数进行变形，这个也是本题的难点.若 恒成立，即说明小于等于函数的最小值；若 恒成立，即说明大于等于函数的最大值.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．

（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；

（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【答案】（1）或；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；

（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值．

【详解】∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相切，

∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=．

（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d=．

当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．

∴，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0．

综上，直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0；

（2）点M、N的纵坐标之积为定值10．

设P（x1，y1），

∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），

∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=，y﹣3=．

令x=0，得M（0，），N（0，），

则（*）．

∵点P（x1，y1）在圆C上，∴，即，

代入（*）式，得为定值．

【点睛】求定值问题常见的方法

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22.“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：），游客在乘坐舱升到上半空鸟瞰伦敦建筑，伦敦眼与建筑之间的距离为12（单位：），游客在乘坐舱看建筑的视角为.

（1）当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，视角，求建筑的高度；

（2）当游客在乘坐舱看建筑的视角为时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑的最低高度.

（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为）

【答案】（1）（单位：）；（2）（单位：）.

【解析】

【分析】

（1）先求解三角形的内角，利用正弦定理可求建筑的高度；

（2）先建立坐标系，求解的外接圆的方程，结合两圆的位置关系可求.

【详解】（1）当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，，此时，即，所以.

在等腰三角形中，.

由正弦定理得，所以.

所以建筑的高度为（单位：）.

（2）设建筑的高度为（单位：），建立如图所示的直角坐标系，

圆，

由正弦定理可知，所以，即的外接圆的半径为.

由图可知的外接圆的圆心坐标为，

所以点在圆上，

而点又在圆上，

所以，

解得.

答：建筑的最低高度为（单位：）时，可以拍摄到效果最好的照片.

【点睛】本题主要考查解三角形在实际生活中的应用，综合考查了圆与圆的位置关系，求解的关键是明确点满足的不等关系，侧重考查数学建模的核心素养.