江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019～2020学年度第二学期期中调研测试

高一数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案涂到答案卷相应位置）

1.直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

可化为，即可得出斜率.

【详解】可化为，则

故选：C

【点睛】本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.

2.在中，已知三边、、满足，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理求解即可.

【详解】由题意可得，则

即，，

故选：A

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题.

3.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.

【详解】设长方体棱长分别为，则，

所以，于是，

设球的半径为，则，所以这个球面的表面积为．

本题选择C选项.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

4.在中，已知AB＝4，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为（    ）

A. 4 B. 4 C. 8 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

由内角和定理得出，进而得出，结合三角形面积公式求解即可.

【详解】

故选：B

【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于中档题.

5.已知直线与直线平行，则的值是（    ）

A. 2 B.  C. 1 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

利用两直线平行，斜率的关系求解即可.

【详解】可化为

因为直线与直线平行，所以

解得

故选：A

【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.

6.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（　　　　）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.

【详解】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以

，因此是二面角的平面角，

∠B′AC＝60°．所以是等边三角形，因此，在中

.

故选：C

【点睛】本题考查了二面角的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.

7.已知直线，，则它们的图象可能为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程的正负后可得正确的选项.

【详解】对于A，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；

对于B，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；

对于C，直线方程中的，直线方程中的，符合；

对于D，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；

故选C.

【点睛】如果直线方程的形式是点斜式，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小（也可以确定它们的符号），一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负.

8.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若正方体的棱长为3，则“牟合方盖”的体积为（    ）

A.  B. 18 C. 6 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由正方体内接球的半径以及球的体积公式得出正方体的内切球的体积，结合题意，即可得出“牟合方盖”的体积.

【详解】由题意可得正方体的内切球的半径为

则正方体的内切球的体积

设“牟合方盖”的体积为，由题意得

则

故选：B

【点睛】本题主要考查了多面体的内切球问题，球的体积的计算，属于中档题.

二、多项选择题（选错或多选得0分，选对且不全得3分，每小题5分，共20分）

9.已知表示直线，表示平面，下列正确的是（     ）

A.  B.

C.  D. 或

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】对A项，若，则与可能异面或平行，故A错误；

对B项，若，则与可能异面，平行，相交，故B错误；

对C项，由线面垂直的性质可得，若，则，故C正确；

对D项，当时，根据线面平行的判定定理可知，若在平面外，则，若在平面内，则，故D正确；

故选：CD

【点睛】本题主要考查了空间中直线，平面的位置关系，属于中档题.

10.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（     ）

A ，有两解 B. ，有两解

C. ，无解 D. ，有一解

【答案】BD

【解析】

【分析】

由正弦定理，结合大边对大角，三角形内角和定理，进行判断即可.

【详解】对A项，若，由正弦定理可得，解得，则，此时该三角形只有一解，故A错误；

对B项，若，由正弦定理可得，解得

根据大边对大角可得，则可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，故B正确；

对C项，若，由正弦定理可得，解得，则三角形只有一解，故C错误；

对D项，若，由正弦定理可得，解得，由，则为锐角，可得三角形有唯一解，故D正确；

故选：BD

【点睛】本题主要考查了由正弦定理判断三角形解的个数，属于中档题.

11.下列说法正确的是（     ）

A. 若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直

B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行

C. 垂直于同一直线的两条直线相互平行

D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直

【答案】AD

【解析】

【分析】

由面面垂直的判定定理以及性质判断AD，由面面平行的判定定理判断B，由直线与直线的位置关系判断C.

【详解】对A项，由面面垂直的判定定理可得，A正确；

对B项，由面面平行的判定定理可知，当这两条直线平行时，这两个平面不一定平行，故B错误；

对C项，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故C错误；

对D项，根据面面垂直的性质定理可知，D正确；

故选：AD

【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理以及性质，面面平行判定定理，直线与直线的位置关系，属于中档题.

12.下列说法中，正确的有（    ）

A. 过点且在，轴截距相等的直线方程为

B. 直线在轴上截距为

C. 直线的倾斜角为

D. 过点并且倾斜角为的直线方程为

【答案】BD

【解析】

【分析】

由点在直线上，结合截距的定义判断A；令，得出该直线在轴上的截距，从而判断B；先得出该直线的斜率，从而得出其倾斜角，判断C；由倾斜角为的直线上的所有点的横坐标都相等，从而判断D.

【详解】对A项，点在直线上，且该直线在，轴截距都为，则A错误；

对B项，令，则直线在轴上的截距为，则B正确；

对C项，可化为，则该直线的斜率，则倾斜角，则C错误；

对D项，过点并且倾斜角为的直线上的所有点的横坐标，则D正确；

故选：BD

【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的变换关系，直线的截距的性质，属于中档题.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.过点，且斜率为2的直线方程是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据点斜式写出方程即可.

【详解】由点斜式方程可得，即该直线的方程为

故答案为：

【点睛】本题主要考查了写出直线的点斜式方程，属于基础题.

14.△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，，点D为BC边的中点，则AD=______．

【答案】

【解析】

【分析】

由余弦定理得出的长，结合勾股定理得出，再由勾股定理得出的长.

【详解】由余弦定理可得

，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题.

15.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________．

【答案】

【解析】

分析】

由线面垂直的判定定理以及性质得出平面，从而得出是直线与平面所成角，结合勾股定理以及直角三角形的边角关系，即可得出直线与平面所成角.

【详解】因为平面，底面是正方形，所以

由线面垂直的判定定理可得平面，则平面

则是直线与平面所成角

，

直线与平面的夹角的范围为

故答案为：

【点睛】本题主要考查了求直线与平面的夹角，属于中档题.

16.数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点，则△ABC的欧拉线方程为____________________

【答案】

【解析】

【分析】

因为，所以外心，重心，垂心都位于线段的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出的中点坐标，最后由点斜式写出方程.

【详解】因为，所以外心，重心，垂心都位于线段的垂直平分线上

设线段的垂直平分线的斜率为，则

，

又因为的中点坐标为

所以△ABC的欧拉线方程为，即

故答案为：

【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.

四、解答题（10+12+12+12+12+12，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤）

17.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.

(1)求BC的长；

(2)求sin C的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理求得的长.

（2）利用余弦定理求得的值，进而求得的值.

【详解】（1）由余弦定理得.

（2）由余弦定理得.由于是三角形的内角，所以.

【点睛】本小题主要考查利用余弦定理求边长，考查利用余弦定理计算角的余弦值，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.

18.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝，M是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1.

（1）求证：AB1平面BC1M

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【详解】（1）证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OM．

∵O为B1C的中点，M为AC的中点，∴OM∥AB1.

又∵AB1平面BC1M，OM平面BC1M，

∴AB1∥平面BC1M．.

（2）解：∵AB＝BC＝BB1＝1，∠ABC＝，D是棱AC的中点

与所成的角即为与所成角，

设，则在中，

由余弦定理知：  

又因为异面直线所成角取值范围为：

与的夹角为 

（或在△OBM中证明△OBM为正三角形也可）

19.已知△ABC的顶点为．

（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；

（2）求AB边上的高所在的直线方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）求出中点的坐标，求出直线的斜率，即可得出其直线方程；

（2）先求出直线的斜率，利用直线垂直的斜率关系，得出边上高所在直线的斜率，最后由点斜式得出方程.

【详解】（1）∵△ABC的顶点为．

BC边上的中线方程为.

（2）

∴AB边上的高所在的直线方程为：，即．

【点睛】本题主要考查了求直线方程，涉及了斜率公式，中点坐标公式，直线垂直斜率间关系的应用，属于中档题.

20.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；

（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.

【答案】（1）（2）体积：. 表面积：

【解析】

【分析】

（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；

（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.

【详解】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为

圆柱的体积

球的体积

圆柱与球的体积比为：

（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为

圆锥的母线长：

圆锥体积：.

圆锥表面积：.

【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积和表面积，圆柱和球的体积，属于中档题.

21.风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？

【答案】

【解析】

【分析】

在三角形中，由内角和定理求出的度数，由，以及的长，利用正弦定理求出的长即可，在三角形中，由为直角，为，得到为等腰直角三角形，根据求出的长，利用余弦定理即可求解.

【详解】△PAB中，∠APB＝180°－(75°＋60°)＝45°，

由正弦定理得＝⇒AP＝50.

△QAB中，∠ABQ＝90°，

∴AQ＝100，∠PAQ＝75°－45°＝30°，

由余弦定理得PQ2＝(50)2＋(100)2－2×50×100cos30°＝5000，

∴PQ＝＝50.

因此，P，Q两棵树之间的距离为50 m，A，P两棵树之间的距离为50 m.

【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

22.已知直线：

（1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M；

（2）过定点M作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）将直线l整理得：，由题意得出，得出定点的坐标；

（2）设出直线的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得出直线的方程.

【详解】（1）证明：直线l整理得：

令

解得：

则无论m为何实数，直线l恒过定点

（2）由题意可知，当直线的斜率不存在或等于零时，显然不合题意

设直线的方程为

令，则；令，则

即直线与坐标轴的交点为

由于过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分

则点为线段中点，即，解得

则直线l1的方程为，即．

【点睛】本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程，属于中档题.