2023年黑龙江省哈尔滨市第十七中学校中考四模数学试题（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市第十七中学校中考四模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是(   )

A． B． C． D．

2．下列运算一定正确的是(   )

A． B． C． D．

3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(   )

A．   B．   C．   D．  

4．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（    ）

A． B．

C． D．

5．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ）

A． B． C． D．

6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝7米，则树高BC为(用含α的代数式表示（  ）

A．7sin米 B．7cos米 C．7tan米 D．米

7．如图是切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

8．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（   ）

A． B． C． D．

9．如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为(   )

A．6 B．8 C．10 D．18

10．一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．火星赤道半径约为米，用科学记数法表示为________米．

12．在函数中，自变量的取值范围是______．

13．计算的结果是_______．

14．把多项式分解因式的结果是______．

15．不等式组的解集是______．

16．已知反比例函数的图象经过点，则的值为______．

17．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，得到，若，则度数为______．

18．一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是______．

19．在中，，，，则的长为______．

20．矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转15°交于点，过点作于点，连接，若，，则______．

三、解答题

21．先化简，再求代数式的值，其中

22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；

(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使，并直接写出线段EG的长．

23．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措，某中学从七年级学生中随机抽取若干人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：

其中小组合作学习后学生学习兴趣为“高”的人数比小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的人数多5人，结合图中信息解答下列问题：

(1)求样本容量；

(2)通过计算补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；

(3)通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计小组合作学习后，某中学全校七年级2200名学生中学习兴趣“低”的学生有多少人？

24．已知：中，，．

(1)求证：；

(2)连接，当时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与互补的角．

25．某商店准备从厂家购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多40元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，

(1)求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？

(2)商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多5个，甲种零件每件售价为200元，乙种零件每件售价为150元，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利不少于3450元，求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？

26．内接于，直径与弦相交于点，且．

(1)如图，求证：；

(2)如图，点为上一点，且，求证：；

(3)如图，在（2）的条件下，延长交于点，过作于点，交于点，交于点，连接，过点作直线，分别交、于点、，若，，求的长．

27．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与直线交于点，且的面积是．

(1)如图1，求线段的长；

(2)如图2，当点在线段上时，连接、，若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；

(3)如图3，当点在线段延长线上时，连接、，交轴于点，在上取点，使，连接交轴于点，且，过作于点，在延长线上取点，使，求点的坐标．

参考答案：

1．B

【分析】根据相反数的定义直接求解即可．

【详解】解：的相反数是

故选：B．

【点睛】本题考查了相反数的定义，解题关键是准确理解相反数的定义，认真求解．

2．A

【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．

【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；

B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；

C、根据完全平方公式运可知，该选项不符合题意；

D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算及乘法公式等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．

3．B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．

【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

4．C

【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．

【详解】解：由题意得该几何体的主视图为；

故选C．

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．

5．D

【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．

【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：．

故选：D．

【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

6．C

【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝7米，∠BAC＝α，利用三角函数即可求出BC的高度．

【详解】解：∵BC⊥AC，AC＝7米，∠BAC＝α，

∴，

∴BC＝AC•tanα＝7tanα（米）．

故选C.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

7．B

【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由可求出∠AOC=．再由AB为圆O的切线，得AB⊥OA，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO的度数，

【详解】解：∵ ，

∴，

∵AB为圆O的切线，

∴AB⊥OA，即∠OAB=90°，

∴，

故选：B．

【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

8．A

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，

∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为．

故选：A．

【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．

9．B

【分析】由镜面反射的知识可得，结合即可得到，由相似三角形的对应边成比例可得，代入数值即可得到答案．

【详解】解：由镜面反射原理知

∵，

∴.

∵，

∴，

∴.

∵米，米，米，

∴（米）.

故该古城墙的高度是8米．

故选：B.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．

10．A

【分析】根据题意所述，设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式．

【详解】解：设函数解析式为y=kx+b，

将（0，50）、（500，0）代入得

解得：

∴函数解析式为

当y=35时，代入解析式得：x=150

故选A

【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答．

11．

【分析】根据科学记数法可直接进行求解．

【详解】解：把米用科学记数法表示为米；

故答案为．

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．

12．

【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．

【详解】解：由题意可知：，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及函数，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．

13．

【分析】根据二次根式的性质，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式，即可求解．

【详解】解：原式=

=．

【点睛】本题主要考查二次根式的性质和运算法则，解题的关键是掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式．

14．

【分析】用提公因式和平方差公式分解因式，即可得到答案．

【详解】解：；

故答案为：．

【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是掌握平方差公式．

15．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】

解不等式①得：，

解不等式②得：，

不等式的解集为：，

故答案为：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16．

【分析】把点代入反比例函数解析式进行求解即可．

【详解】解：把点代入反比例函数得：

，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．

17．/度

【分析】根据旋转的性质得，根据和得，进一步得到，从而求得答案．

【详解】解：根据题意得，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识．

18．

【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．

【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得：

，解得：，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．

19．6或2

【分析】如图，，点C有两种位置情况，过点D作，解直角三角形求解．

【详解】如图，，，，

过点D作，则中，，

，

中，，

∴，

∴，

故答案为：6或2．

【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形性质，注意分情况讨论是解题的关键．

20．

【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解．

【详解】解：∵四边形是矩形，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查矩形的性质、含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．

21．，

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x，继而代入计算可得．

【详解】原式

∵

∴原式．

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则以及特殊角三角函数值．

22．(1)见解析

(2)图见解析，．

【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图对角线BF=，即可；

（2）根据等腰直角的性质和题意画图即可．

【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：如图所示：

．

【点睛】本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．

23．(1)100

(2)见解析

(3)110

【分析】（1）先求出小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的人数，再计算出合作前“高”得比例，即可求出样本容量；

（2）根据（1）的样板容量计算出“中”的人数，即可补全图形；

（3）先求出“小组合作学习”前后学习兴趣“低”的比例，再进行估算即可得到答案 ．

【详解】（1）解：∵小组合作学习后学生学习兴趣为“高”的人数比小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的人数多5人，

∴小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的人数为：30人，

根据题意得，在小组合作学习前，学生学习兴趣为“高”的人数比例为：，

∴样本容量为：；

（2）根据题意得：小组合作学习后学生学习兴趣为“中”的人数为：人，

补全的统计图如下：

（3）解：“小组合作学习”前后学习兴趣“低”的比例为：，

∴全校七年级2200名学生中学习兴趣“低”的学生有：人．

【点睛】本题考查统计图，解题的关键是求出样板的总容量．

24．(1)见解析；

(2)，，，．

【分析】（1）由平行四边形的性质证明，进而得到，，可证明，则问题可证明；

（2）根据平行四边形性质和等腰三角形的性质，分别证明，，，与互补，则问题可解；

【详解】（1）（1）证明：∵四边形为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2），，，

理由：∵四边形为平行四边形，

∴，

∴，

由（1）可知，，

∴，，

∴与互补，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

故与互补的角有：，，，．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，解答关键是根据题意找到全等三角形并进行证明．

25．(1)160，120；

(2)33

【分析】（1）设每个乙种零件的进价为元，则每个甲种零件的进价为元，根据数量总价单价结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设该商店本次购进甲种零件个，则购进乙种零件个，根据总利润单个利润销售数量，结合总获利不少于3450元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．

【详解】（1）解：设每个乙种零件的进价为元，则每个甲种零件的进价为元，

依题意，得：，

解得：（元，

经检验，是分式方程的解，且符合题意，

（元）．

答：每个甲种零件的进价为160元，每个乙种零件的进价为120元．

（2）解：设该商店本次购进甲种零件个，则购进乙种零件个，

依题意，得：，

解得：，

为正整数，

的最小值为33．

答：该商店本次购进甲种零件至少是33个．

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26．(1)见详解

(2)见详解

(3)

【分析】（1）连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求证；

（2）连接，在上截取，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；

（3）过点A作于点R，连接，过点P作于点T，由题意易得，然后可得，则有，设，则有，易得，进而根据三角函数及相似三角形的性质与判定可进行求解．

【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）证明：连接，在上截取，连接，如图所示：

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

（3）解：过点A作于点R，如图所示：

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

设，则有，

连接，

∵是的直径，，

∴，

∴是的垂直平分线，

∴，

∴在中，由勾股定理得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

过点P作于点T，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的性质、三角函数、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．

27．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据直线推出点坐标，结合的面积是，求出点坐标，代入求出完整表达式，再得到点坐标，再代入求出表达式，得到点坐标，最后根据计算即可；

（2）过点作轴于，过作交延长线于，根据表达式结合，代入化简计算即可；

（3）在上截取，连接；过点作于，过点作于；过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于．推理证明，求出直线表达式，再求出点坐标，根据三角函数列方程求出，算出，再根据算出，即可得到点的坐标．

【详解】（1）在直线上，令，，

，，，

，

，，

直线过，

解得，

∴，

在直线上，过，

，，，

在直线上，

令，，，，

；

（2）在直线上，令，，，

，，

过点作轴于，过作交延长线于，

，

四边形是矩形，

，，

在直线上，，

，

；

（3）设，则，设，

，

在上截取，连接，可得，

，

过点作于，

过点作于，

，

，

，

，，，

在和中，，，

，，，，

，，

，，又，，

，

设直线的解析式为，

把和代入得，

解得，

直线解析式为，

点是直线上的点，

把代入得，

解得，

在中，，

过点P作轴于W，

在中，，

，，，

，

，，

，是等腰直角三角形，

，

，，是等腰直角三角形，

过点作轴于，

，，，，

在和中，

，，

，

是等腰直角三角形，，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

过点作轴于，

，设交轴于点，

，

，

，

是等腰三角形，

，，，

，，

，，，

设，则，

在中，，

，解得，，

，

【点睛】本题考查了一次函数综合，结合全等三角形证明、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，数形结合、画出图象分析、推理和计算是解题的关键．