江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一（新疆班）下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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新疆高一数学期中试卷

总分 150分           时间 120分钟        命题人：

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若A(0，－1，1)，B(1，1，3)，则的值是（    ）

A. 5 B.  C. 9 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】

计算，再计算模长得到答案.

【详解】A(0，－1，1)，B(1，1，3)，则，故.

故选：D.

【点睛】本题考查了空间向量的模，意在考查学生的计算能力.

2.设,且, 则实数m + n的值为（    ）

A.  B.  C. 8 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行得到，故，解得，，得到答案.

【详解】，则，故，故，

解得，，，故.

故选：B.

【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

3.已知分别为平面的法向量，且，，若，则的值为（       ）

A. 2 B. -2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据得到，即，计算得到答案.

【详解】，故，故，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查了法向量，根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4.若向量，且，则实数的值是（    ）

A.  B. 0 C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出的坐标，利用可得，代入坐标计算即可.

【详解】解：由已知，

由得：，

，

故选：C.

【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中是解题的关键，是基础题.

5.已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成的角为（          ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

计算，得到向量夹角，再计算线面夹角得到答案.

【详解】，故向量夹角为，

则直线与平面所成的角为.

故选：A.

【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

6.已知，点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设，故，，计算得到答案.

【详解】设，即，故，

，

当时，向量数量积有最小值，此时.

故选：D.

【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

7.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝（        ）

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据切线的定义得到，，相加得到答案.

【详解】根据题意知：，，故.

故选：C.

【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.

8.函数在区间上（      ）

A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值

C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值

【答案】A

【解析】

【分析】

求导得到，得到函数的单调区间，得到最值.

【详解】，则，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

故函数有最大值为，无最小值.

故选：A.

【点睛】本题考查了求函数的最值，求导确定单调区间是解题的关键.

9.直线是曲线的一条切线，则实数b＝（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求导得到，计算切点为，代入直线方程得到答案.

【详解】，则，取，解得，

当时，，故切点为，代入直线得到，故.

故选：C.

【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.

10.函数的单调减区间是（         ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求导得到，取解得答案.

【详解】，则，取，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力.

11.如果函数的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是（        ）

A. 函数在区间（3，5）内单调递增

B. 函数在区间（-2，2）内单调递增

C. 当时，函数有极大值

D. 当x=2时，函数有极小值

【答案】B

【解析】

【分析】

根据导数和函数的关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】根据图像知：导函数在上有正有负，故函数先减后增，A错误；

导函数在上恒为正，故函数单调递增，B正确；

导函数在上恒为正，函数单调递增，故不是极值点，C错误；

导函数在上为正，函数单调递增；导函数在为负，函数单调递减，故是极大值点，D错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了根据导函数的图像判断函数性质，确定导函数和函数的关系是解题的关键.

12.若在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（          ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意得到，即，计算最值得到答案.

【详解】，则，恒成立，

故，当时，的最大值为，

故.

故选：D.

【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数范围，参数分离转化为求函数最值是解题的关键.

二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13.设＝(－1，1，2)，＝(2，1，－2)，则＝___________________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接根据向量的坐标运算得到答案.

【详解】＝(－1，1，2)，＝(2，1，－2)，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了向量的运算，属于简单题.

14.函数的极小值为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

求导得到，得到函数单调区间，求得极小值.

【详解】，故，

取得到，故函数在上单调递减；

取得到或，故函数在和上单调递增.

故极小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数的极小值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15.函数的图像在点处的切线方程为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

求导得到，故，得到切线方程.

【详解】，则，，

故切线方程为：，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则m的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

设，函数在上单调递减，计算，即可得到答案.

【详解】恒成立，设，函数在上单调递减，

故，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

三、解答题（本大题共六小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.求下列函数的导数：

（1）               （2）

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接根据导数运算法则计算得到答案.

（2）利用除法的导数的运算法则得到答案.

【详解】（1），则；

（2），则.

【点睛】本题考查了导数的运算，意在考查学生的计算能力.

18.已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间

【答案】（1）f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2；（2）f（x）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）.

【解析】

【详解】分析：（1）求出导函数，题意说明，，，由此可求得；

（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间.

详解：（1）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，

∴f（x）=x3+bx2+x+2，f'（x）=3x2+2bx+．  

∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0

∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+=3﹣2b+=6①，  

还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②

 由①、②联立得b==﹣3  故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

（2）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+.

当x<1-,或x>1+时，f'（x）>0；当1-<x<1+时，f'（x）<0.    

故f（x）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）

点睛：（1）过曲线上一点处的切线方程是；（2）不等式解集区间是函数的增区间，不等式的解集区间是的减区间.

19.如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题

（1）求证：  （2）求证平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，得到，，故，得到证明.

（2）计算，计算，得到证明.

【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，

则，，，，，

故，，故，故.

（2），故，故，

又，，故平面.

【点睛】本题考查了利用空间向量证明线线垂直，线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20.如图，已知正三棱柱所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：

（1）求与所成角的余弦值；

（2）求证：平面.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）以为轴建立空间直角坐标系，则，，计算夹角得到答案.

（2）计算，得到，得到证明.

【详解】（1）取中点为，中点为，连接，

正三棱柱，故平面，故，，

中点为，中点为，故，故两两垂直，

以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，

故，故与所成角的余弦值为.

（2），，故，

，故，故，

，故平面.

【点睛】本题考查了异面直线夹角，利用空间向量证明线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

21.已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，

（1）求与平面所成角的余弦值．

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）以为轴建立空间直角坐标系， ，易知是平面的一个法向量，计算夹角得到答案.

（2）平面的一个法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.

【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，

则，，，，，，，

故，易知是平面的一个法向量，

故，故与平面所成角的余弦值为.

（2）设平面的一个法向量为，则，即，

取，则，，故.

易知平面，故平面的一个法向量为，

则，故二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线面夹角，二面角，意在考查学生计算能力和空间想象能力.

22.已知函数 (为实常数) ．

（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；

（2）当时，讨论方程根个数．

【答案】（1）当时，；（2）当时，方程无解，当时，方程有唯一解，当时，方程有两解

【解析】

【分析】

（1）求导得到，得到函数单调区间，得到最值.

（2）得到，设，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】（1），则，

当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，，，

故当时，函数有最大值为.

（2），故，设，，

则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，且，

画出函数图像，如图所示：

当时，方程无解，当时，方程有唯一解，当时，方程有两解.

【点睛】本题考查了函数最值，利用导数研究方程的解的个数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，参数分离是解题的关键.