2023年海南省海口市美兰区海南师范大学附属中学三模数学试题（含解析）

这是一份2023年海南省海口市美兰区海南师范大学附属中学三模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．2023B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米=0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．若代数式与的值相同，则m等于（ ）
A．3B．2C．1D．0
5．一块含角的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．如图放置的正六棱柱，其俯视图是( ).

A． B． C． D．
7．数据2，4，8，5，3，5，5，4的众数、中位数分别为（ ）
A．4.5、5B．5、4.5C．5、4D．5、5
8．如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，点A是第一像限内反比例函数图像上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4，则k 的值等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．静乐—兴县高速公路（简称静兴高速）通车后，大大方便了人们的出行．据了解从兴县到太原的车程为202公里，静兴高速通车后，汽车平均车速提高为原来的倍，从兴县到太原所用时间比原来节省了小时，设原来从兴县到太原所用时间为x小时，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，，的平分线交于点D，．以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点B，M，分别以点B，M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点N，作直线交于点E，保留作图痕迹，则的长为（ ）
A．B．3C．D．6
12．如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ）
A．B．C．20D．24
二、填空题
13．把多项式分解因式的结果是__________．
14．使分式有意义的字母的取值范围是______．
15．如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______．
16．如图，现有一矩形纸片，为矩形的对角线，，，点为上一点，沿线段将折叠为，交于点，连接，作点关于线段对称的点，点恰好落在对角线上，连接，．则的大小为______；的长为______．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）求不等式组．
18．某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽西安”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
19．喜迎中共二十大，为响应党的“文化自信”号召，初二年级开展了汉字听写大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（表示分，表示分，表示分，表示分，表示分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题：
(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，扇形统计图中a的值是______；
(3)从该样本中随机抽取一名同学的成绩，其恰好在“”范围的概率是______；
(4)如果全年级有1200名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀的学生有______人．
20．学校运动场的四角各有一盏灯，其中一盏灯的位置如图所示，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为，坡度，坡角为．灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角，在同一平面上．（参考数据：，，，．）

(1)_________度， _________度；
(2)求灯杆的高度；
(3)求的长度．（结果精确到）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF
（1）若AE＝BC
①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；
（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形．
22．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线上一点，求的最小值；
(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】利用相反数的定义判断．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2．B
【分析】根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，逐一判断即可解答．
【详解】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
3．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000014=1.4×10-8．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．C
【分析】根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可.
【详解】解：∵代数式与的值相同，
.∴.，
移项得，
合并同类项得，
系数化成1得：
故选：C
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键
5．C
【分析】根据平角的定义得到，再根据三角形外角性质得到，最后根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图：

∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵直尺的对边互相平行，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质等知识点，熟记“两直线平行，内错角相等”及三角形外角的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据俯视图的定义即可解答.
【详解】解：可知该正六棱柱的主俯视图为
故选C.
【点睛】本题主要考查了俯视图的定义，掌握从几何体上方看到的图形为俯视图是解答本题的关键.
7．B
【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：数据中5出现的次数最多，所以众数为5，
将数据重新排列为2、3、4、4、5、5、5、8，
则中位数为＝4.5，
故选：B．
【点睛】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
8．A
【分析】由线段绕点O顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于C，轴于，得出，就可以得出，再结合点B的坐标即可解答．
【详解】解：∵线段绕点O顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴.
作轴于C，轴于，

∴
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴
∴,
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、点的坐标等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．
9．C
【分析】根据反比例函数的几何性质意义即可解得．
【详解】解：设点，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了反比例函数的几何性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质．
10．B
【分析】设原来从兴县到太原所用时间为小时，根据汽车平均车速提高为原来的倍，从兴县到太原所用时间比原来节省了小时，列方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．A
【分析】先根据作图知垂直平分，再根据角平分线的性质得，再在等腰中，根据勾股定理即可得出结果．
【详解】解：在中，，，
是等腰直角三角形，
，
由作图可知，垂直平分，
，
的平分线交于点D，
，
在等腰中，．
故选：A．
【点睛】本题考查了基本作图：作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质．理解作一条线段的垂直平分线的方法是本题的关键．
12．C
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为；
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
13．
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
14．
【分析】分式有意义的条件：分母不能为0．
【详解】解：要使分式有意义，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
15．
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正五边形的每个内角为，
正五边形的边长为4，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
16． 75
【分析】证明，可得；再证明，，求出，可得结论．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
，关于对称，
，
，
，
，
，
，
．
，，，
，
，，
，，
，
，，
，．
故答案为：75；．
【点睛】本题考查作图轴对称变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
17．（1）9；（2）
【分析】（1）先算零指数幂，负指数幂，开方和绝对值，再算加减法；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，一元一次不等式组的整数解和实数的运算，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．A型垃圾桶的单价为元， B型垃圾桶的单价为元．
【分析】设A型垃圾桶的单价为x元， B型垃圾桶的单价为y元，依据总费用和两种垃圾桶的价格关系建立方程组，求解即可．
【详解】解：设A型垃圾桶的单价为x元， B型垃圾桶的单价为y元，
依题意列方程得：
，
解得：，
答：A型垃圾桶的单价为元， B型垃圾桶的单价为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用；解题的关键是依据数量关系正确列方程组．
19．(1)抽样调查
(2)50；30
(3)
(4)240
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的概念可得答案；
（2）先求出E组所占比例，再用10除以其所占比例即可得出调查的学生总数，再用15除以所抽查的学生总数即可得a的值；
（3）先求出成绩在“”范围的学生人数，再求其概率即可；
（4）用总人数乘以样本中在90分以上（含90分）范围的学生人数占被调查人数的比例即可得．
【详解】（1）由题意可知，在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）由题意可得：本次调查一共随机抽取的学生人数为：（人），，
故答案为：50，30；
（3）从该样本中随机抽取一名同学的成绩，其恰好在“70~80”范围的人数有：（人），其概率为：，
故答案为：；
（4）估计获得优秀的学生有：（人）
【点睛】本题主要考查了抽样调查与全面调查，条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，简单的概率计算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．(1)，
(2)灯杆的高度为
(3)的长度为
【分析】（1）根据坡比的计算方法，直角三角形的性质即可求解；
（2）根据题意，如图所示（见详解），在中，可求出的长，在中，可求出的长，由此即可求解；
（3）由（2）可知的长，在中，可求出的长，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于，

∵坡度，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
（2）解：斜坡的长为，坡度，坡角，，如图所示，

在中，，则，，
在中，，
∴，则，
∴，
∴灯杆的高度为．
（3）解：如图所示，

由（2）可知，，
在中，，
∴，则，
∴，
∴的长度为．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角函数的定义，掌握直角三角形的性质，三角函数的定义是解题的关键．
21．(1)①证明见解析；②12；③；(2)当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．
【分析】（1）①如图1中，根据AAS证明：△ABE≌△DFA即可．
②利用勾股定理求出BE，即可解决问题．
③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．求出FM，MC即可解决问题．
（2）分三种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：(1)①如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF．
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．
∴∠B＝∠AFD＝90°，
又∵AE＝BC，
∴AE＝AD，
∴△ABE≌△DFA(AAS)．
②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，
根据勾股定理，得 BE＝＝3，
∵△ABE≌△DFA，
∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3．
∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，
∴四边形CDFE的周长＝2(DC+EC)＝2×(4+2)＝12．
③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．
，
在Rt△FME中， ，
，
在Rt△FMC中， ．
(2)如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4．
∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△DFA(AAS)．
∴AE＝AD＝5，
由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…
如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G，
则CG∥AE，DH＝FH．
∴AG＝GD＝2.5．
∵CG∥AE，AG∥EC，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…
如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FQ⊥DC，垂足为点Q．
则AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，
∴AF＝FE＝AE．
∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，
∴△ABE∽△DFA，
∴，即AD×BE＝AF×AE．
设BE＝x，
∴5x＝，
解得x1＝2，x2＝8(不符合题意，舍去)
∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形．
综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形互为相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．(1)抛物线的解析式为：
(2)当时，的面积最大，最大面积为32
(3)
(4)存在，P点的坐标为，，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）利用抛物线的解析式求出点B的坐标，得到直线的解析式，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G，利用求出解析式，利用函数性质解答即可；
（3）作O关于直线的对称点为，得到四边形为正方形，则，则，当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，勾股定理求出即可．
（4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，得或，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得
∴直线的解析式为．
如图，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G．
设点，．
∴．
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线的对称点为，连接，如图，
∵，，
∴四边形为正方形，则，
则，
当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，
∴最小值为．
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
当时，，解得或，
∴；
当时，则，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上，P点的坐标为，，．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．