2023年辽宁省大石桥市实验中学中学三模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省大石桥市实验中学中学三模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的立方根是（ ）
A．B．C．2D．没有立方根
2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．根据今年的政府工作报告，2023年经济形势明显成上升势头，城镇新增就业目标为1200万人左右，1200万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．某初中为了鼓励学生参加体育锻炼，开展一分钟跳绳比赛，此次比赛前十名同学跳绳的数量如下表所示，则跳绳数量的中位数和众数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
9．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A．1B．2C．3D．4
10．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．因式分解： _____．
12．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____；
13．有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是_____．
14．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是_____．
15．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
16．如图，在中，，，点在射线上运动，连接，将沿翻折得到，交射线于，如果是直角三角形，则的长为_____________；
三、解答题
17．先化简，再求值： ，其中a的值从不等式组的解集中选取一个整数．
18．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，且很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克．
(1)求第一次购进该水果的进价？
(2)已知第一次购进的水果以每千克元很快售完，第二次购进的水果，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
20．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中，）的图象经过平行四边形的顶点，函数（其中）的图象经过顶点，点在轴上，若点的横坐标为1，的面积为．
（1）求的值：
（2）求直线的解析式．
21．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
22．如图，在中，，E为边上一点，过点C作交射线于点D，的外接圆与交于点F，连接，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
23．海鲜门市的某种海鲜食材，成本为10元/千克，每天的进货量p（千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该海鲜食材每天的市场需求量q（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（已知按物价部门规定销售价格x不低于10元/千克且不高于30元/千克）
（1）请写出q与x的函数关系式：___________________________；
（2）当每天的进货量小于或等于市场需求量时，这种海鲜食材能全部售出，而当每天的进货量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的海鲜食材，剩余的海鲜食材由于保质期短而只能废弃．
①求出每天获得的利润y（元）与销售价格x的函数关系式；
②为了避免浪费，每天要确保这种海鲜食材能全部售出，求销售价格为多少元时，每天获得的利润（元）最大值是多少？
24．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF．
(1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果）
(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；
(3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(3)如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
数量（个）
人数（人）
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
销售价格x（元/千克）
10
12
…
30
市场需求量q（千克）
30
28
…
10
参考答案：
1．A
【分析】根据立方根的性质，即可解答．
【详解】解：的立方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，熟知上述性质是解题的关键．
2．C
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”中能看到侧棱，即看到的图形为 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
3．D
【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，同底数幂相除，逐一判断即可解答．
【详解】解：，故A错误；
无法继续合并化简，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，同底数幂相除，熟知上述计算法则是解题的关键．
4．C
【分析】1200万即用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．
【详解】解：1200万即的绝对值大于表示成的形式，
∵，，
∴1200万表示成，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．
5．D
【分析】过点B作，可得，根据平行线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：过点B作，
∵，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．等边三角形三个角都是．
6．C
【分析】根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等进行求解即可。
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键。
7．B
【分析】根据中位数与众数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：第5个和第6个数据分别为，则中位数为，
出现次数最多，则众数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义，熟练掌握中位数与众数的定义是解题的关键．
8．D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
9．C
【分析】根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到①②正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故③错误；根据 ，得到抛物线开口向下，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当时 ， ，
∴点，在抛物线上，故①②正确；
根据表格中信息，得：
当 时， ，
当 时，，
∴抛物线的对称轴为 ，故③错误；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．D
【分析】方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得出只有D选项符合要求；
方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可．
【详解】方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积越大，
故D选项符合题意；
方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，
∵∠DPE＝90°，
∴∠DPC+∠EPH＝90°，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠EPH＝∠PDC，
在△EPH和△PDC中，
，
∴△EPH≌△PDC（AAS），
∵BP＝x，AB＝BC＝2，
∴PC＝EH＝2﹣x，
∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，
∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键．
11．
【分析】先提公因式，再运用完全平方公式分解因式．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解．熟记乘法公式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
12．且/x≠2且x≥-3
【分析】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．
【分析】直接根据概率公式求解即可得出答案．
【详解】解：∵有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，抽到标有节日是中国传统节日的有4种
∴抽到标有节日是中国传统节日的概率是；
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法的运用：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．4.8
【详解】设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，
连接PD，连接CP，CD，
则有PD⊥AB；
由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，
由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；
只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，
即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，
由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8．
故答案为：4.8．
考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理
15．18
【分析】由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长．
【详解】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点”，
可知，
把代入得：
，
解得，
由两点间距离公式可求出（米．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握其性质是解决此题的关键．
16．或
【分析】依题意分，，两种情况讨论即可求解．
【详解】解：当时，如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，
∵折叠，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
当时，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的长为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，折叠问题，分类讨论是解题的关键．
17．，当时，原式；当时，原式
【分析】化简时先通分，然后将分式的分子分母进行因式分解来化简，代值时先排除分式和计算过程中出现的分母为零的取值，然后在0，1中任选一个代值计算即可．
【详解】
由且a为整数，得到，
当时，原式没有意义；
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键是代值时需要排除令原分式和化简过程中出现的所有的分母为零的取值．
18．（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．(1)元；
(2)总体上是盈利，盈利元．
【分析】（1）根据用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克列等量关系即可解答；
（2）根据利润等于售价减去进价即可解答．
【详解】（1）解：设第一次购进的单价为元，则第二次购进的单价为，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：第一次购进的单价为元；
（2）解：第一次购进的数量为（千克），
第二次购进的数量为（千克），
（元），
答：总体上是盈利，盈利元．
【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．
20．（1）；（2）．
【分析】（1）设与轴相交于点，根据已知求出点C的坐标，利用平行四边形的性质证得OD=2，CD=1，再根据的面积为求出AD即可求出得到点A的坐标求出k；
（2）根据平行四边形的性质求出点B的坐标，再设直线的解析式为，将点A、B的坐标代入解答即可.
【详解】（1）解：设与轴相交于点．
把代入，得．
点的坐标为．
四边形是平行四边形，
．
．
，．
根据题意，得．
．
．
点的坐标为．
．
解得．
（2）四边形是平行四边形，
．
点的坐标为．
设直线的解析式为，
∴，解得，
直线的解析式为．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，反比例函数上的点的坐标求法，待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式.
21．（1）2米；（2）（6+4）米.
【分析】（1）在Rt△DCE中，利用30°所对直角边等于斜边的一半，可求出DE=2米；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则AF=2，根据三角函数可用BF表示BC、BD，然后可判断△BCD是Rt△，进而利用勾股定理可求得BF的长，AB的高度也可求.
【详解】（1）在Rt△DCE中，∠DEC=90°，∠DCE=30°，
∴DE=DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，则AF=DE=2米.
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
∴∠BFD=45°，
∴BF=DF.设BF=DF=x米，则AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，
∴sin∠BCA=，
∴BC=AB÷sin∠BCA=（x+2）÷米，
在Rt△BDF中，∠BFD=90°，米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°.
∴，
解得： 或(舍) ，
则AB=米．
考点：1特殊直角三角形；2三角函数；3勾股定理.
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，通过平行证明，再利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质得到，，利用三角形内角和定理和角度的等量代换，证明，即可解答；
（2）证明，利用解直角三角形求得的长度，最后证明，利用对应线段之比相等，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接
，，
，
，
，
，，
在中，，
，
是的切线；
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，同弧所对的圆周角相等，圆的切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
23．（1）q=-x +40 ；(2)①；②销售价格为20元时，每天获得的利润最大值是200元
【分析】（1）分析表中的变量关系可得q=-x +40；
（2）①分情况：，当时，；；当时，；
②要确保海鲜全部售出，所以p≤q，得，求函数最值可得.
【详解】解：（1）从表可得，q与x的函数关系式： q=-x +40
(2) ①，
当时，
，
当时，
综上所述：
②要确保海鲜全部售出，所以p≤q
∴
∵，a>0，对称轴
∴当x=20时，y取最大值
（元）
答：销售价格为20元时，每天获得的利润最大值是200元.
【点睛】考核知识点：二次函数应用.理解题中各个量的关系，并转化为函数问题解决是关键.
24．(1) 证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论；
（2）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论；
（3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，再分这情况讨论，结合等腰三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：， 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴，
∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，
∴（SAS）
∴∠BAE=∠BCF=，
∴∠ACF=，
∴∠AFC+∠FAC=；
（2）（1）的结论仍然成立， 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=，
∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，
∴（SAS）
∴∠BAE=∠BCF=，
∴∠ACF=，
∴∠AFC+∠FAC=；
（3）如图，当点E在点A下方时，
∵△ACF是等腰直角三角形，
∴AC=CF，
∵△ABE≌△CBF，
∴CF=AE，
∴AC=AE=AB，
∴∠ABE=，
∴∠EBC=，
如图，当点E在点A上方时，
同理可得：
∴
∴∠EBC=．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图．过点M作轴，垂足为D．当与都以为底时，可得．再求解，，直线的解析式为．直线的解析式为，可得 ．从而可得答案；
（3）过点M作轴，垂足为E．设，则．由， 可得．同理可得．再利用，建立方程方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，顶点为，
∴解得
∴该抛物线的解析式为．
（2）证明：如图．过点M作轴，垂足为D．
当与都以为底时，
∵，∴．
当时，则，
解得．
∵，∴，
∴．设点M的坐标为，
∵点M在第一象限，∴，
∴，∴．
设直线的解析式为，
∴解得
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
∵直线，∴，
∴，∵，∴．
∴直线的解析式为，将其代入中，
得，∴，解得．
∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为，
∴，∴．
∵，
∴点N与点M关于y轴对称．
（3）如图．
存在点M，使得．理由如下：
过点M作轴，垂足为E．
∵，
∴．
∵，∴，∴．
在和中，
∵，∴，
∴．
∵，∴，
在和中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，，
∴．
∴存在点，使得．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标问题，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）