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备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件PPT，共32页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，平面的基本性质，同一条直线上的三点，有且只有一条，相等或互补，锐角或直角等内容，欢迎下载使用。
微点拨三个推论推论1:经过一条直线与这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?
提示:“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.
2.等角定理 要注意角的两边方向空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
微点拨空间中两直线的位置关系
4.异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的 叫做异面直线a与b所成的角.
常用结论1.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(1)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点,所以EF∥A1B且EF= A1B.又因为A1D1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以EF与CD1确定一个平面α.所以E,F,C,D1都在α中,即E,C,D1,F四点共面.(2)由(1)知,EF∥CD1,且EF= CD1,所以四边形CD1FE是梯形,所以CE与D1F必相交.设交点为P,则P∈CE⊂平面ABCD,且P∈D1F⊂平面A1ADD1,所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又因为平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三线共点.
规律方法 共面、共线、共点问题的证明方法
对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
例2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2) 如图,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 .
答案:(1)D (2)②④ 解析:(1)由于l与直线l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.(2)在①中,MG∥HN且MG=HN,则四边形MGHN是平行四边形,有GH∥MN,两者不是异面直线;图②中,点G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;在③中,M,N分别是所在棱的中点,所以GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,不是异面直线;图④中,点G,M,N共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.
规律方法 空间两条直线位置关系的判定方法
对点训练2(1)(2022北京东城三模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,D1C1的中点,则下列直线中与直线BE在同一平面内相交的是( )A.直线A1FB.直线AD1C.直线C1D1D.直线AA1
(2)(2023福建福州质检)如图,在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是 的中点,F是AB的中点,则( )A.AE=CF,AC与EF是共面直线B.AE≠CF,AC与EF是共面直线C.AE=CF,AC与EF是异面直线D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
答案:(1)A (2)D解析:(1)连接EF,CD1,A1B,则EF∥CD1,EF= CD1,又A1B∥CD1,A1B=CD1,∴EF∥A1B,EF= A1B,即四边形EFA1B为梯形,故直线A1F与直线BE相交.直线AD1与BE为异面直线,直线C1D1与BE为异面直线,直线AA1与BE为异面直线.故选A.(2)∵AC⊂平面ABC,EF与平面ABC相交,且与AC无交点,∴AC与EF是异面直线.设过点E的母线与圆柱的下底面交于点G,连接AG,OG(图略),则
答案:(1)D (2)B 解析:(1)如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
规律方法 求解异面直线所成角的方法
对点训练3(1)(2022河南开封核心模拟二)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是正方形ABCD的中心,则直线A1D与直线B1M所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°(2)(2022河南郑州二模)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,M是AA1的中点,则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为( )
答案:(1)A (2)D解析:(1)如图,设正方体的棱长为2a,连接B1C,MC,MB,则B1C∥A1D,故∠CB1M或其补角为直线A1D与直线B1M所成的角.
(2)如图,连接A1C1,C1M,BC1,∵AB CD C1D1,∴四边形ABC1D1为平行四边形,∴AD1∥BC1,∴直线AD1与BM所成角即为BC1与BM所成角,即∠C1BM或其补角,不妨设AA1=1,则AB=BC=2,
微点拨三个推论推论1:经过一条直线与这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?
提示:“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.
2.等角定理 要注意角的两边方向空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
微点拨空间中两直线的位置关系
4.异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的 叫做异面直线a与b所成的角.
常用结论1.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(1)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点,所以EF∥A1B且EF= A1B.又因为A1D1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以EF与CD1确定一个平面α.所以E,F,C,D1都在α中,即E,C,D1,F四点共面.(2)由(1)知,EF∥CD1,且EF= CD1,所以四边形CD1FE是梯形,所以CE与D1F必相交.设交点为P,则P∈CE⊂平面ABCD,且P∈D1F⊂平面A1ADD1,所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又因为平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三线共点.
规律方法 共面、共线、共点问题的证明方法
对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
例2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2) 如图,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 .
答案:(1)D (2)②④ 解析:(1)由于l与直线l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.(2)在①中,MG∥HN且MG=HN,则四边形MGHN是平行四边形,有GH∥MN,两者不是异面直线;图②中,点G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;在③中,M,N分别是所在棱的中点,所以GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,不是异面直线;图④中,点G,M,N共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.
规律方法 空间两条直线位置关系的判定方法
对点训练2(1)(2022北京东城三模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,D1C1的中点,则下列直线中与直线BE在同一平面内相交的是( )A.直线A1FB.直线AD1C.直线C1D1D.直线AA1
(2)(2023福建福州质检)如图,在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是 的中点,F是AB的中点,则( )A.AE=CF,AC与EF是共面直线B.AE≠CF,AC与EF是共面直线C.AE=CF,AC与EF是异面直线D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
答案:(1)A (2)D解析:(1)连接EF,CD1,A1B,则EF∥CD1,EF= CD1,又A1B∥CD1,A1B=CD1,∴EF∥A1B,EF= A1B,即四边形EFA1B为梯形,故直线A1F与直线BE相交.直线AD1与BE为异面直线,直线C1D1与BE为异面直线,直线AA1与BE为异面直线.故选A.(2)∵AC⊂平面ABC,EF与平面ABC相交,且与AC无交点,∴AC与EF是异面直线.设过点E的母线与圆柱的下底面交于点G,连接AG,OG(图略),则
答案:(1)D (2)B 解析:(1)如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
规律方法 求解异面直线所成角的方法
对点训练3(1)(2022河南开封核心模拟二)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是正方形ABCD的中心,则直线A1D与直线B1M所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°(2)(2022河南郑州二模)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,M是AA1的中点,则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为( )
答案:(1)A (2)D解析:(1)如图,设正方体的棱长为2a,连接B1C,MC,MB,则B1C∥A1D,故∠CB1M或其补角为直线A1D与直线B1M所成的角.
(2)如图,连接A1C1,C1M,BC1,∵AB CD C1D1,∴四边形ABC1D1为平行四边形,∴AD1∥BC1,∴直线AD1与BM所成角即为BC1与BM所成角,即∠C1BM或其补角,不妨设AA1=1,则AB=BC=2,
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