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备战2024年高考总复习一轮（数学）第10章 算法初步、 统计与统计案例 第3节 用样本估计总体课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第10章 算法初步、 统计与统计案例 第3节 用样本估计总体课件PPT，共35页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，最大值，最小值，频率分布表，频率分布直方图，所分组数，平均数，答案D等内容，欢迎下载使用。
1.统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤①求极差(即一组数据中 与 的差); ②决定 与 ; ③将数据 ; ④列 ; ⑤画 .
(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得到频率分布折线图. ②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时 增加, 减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息. (3)茎叶图:茎叶图中茎是指 的一列数,叶是从茎的 生长出来的数.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表示都带来方便.
(4)茎叶图的画法步骤第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列;第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.
2.样本的数字特征 统计学中描述随机样本的某些特征的数字
例1(1)(2021天津,4)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[66,70),[70,74),…, [94,98],并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是( )A.20B.40C.64D.80
(2)(2021全国甲,文2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案:(1)D (2)C 解析:(1)由频率分布直方图可知,评分在区间[82,86)内的影视作品数量为400×0.05×4=80,故选D.(2)该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1=6%,A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=10%,B正确;该地农户家庭年收入的平均值为0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68,C不正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=64%,D正确.
规律方法 频率、频数、样本容量的计算方法
对点训练1(2020天津,4)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…, [5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18 C.20D.36
答案:B 解析:在[5.43,5.47)的频率为(6.25+5.00)×0.02=0.225,∴0.225×80=18.故选B.
例2某公司为了研究M,N两个店的销售情况,统计了2022年2月至7月M,N两店每月的营业额(单位:万元),得到如图折线图,则下列说法错误的是( )A.N店营业额的平均值是29B.M店营业额的平均值在[34,35]内C.N店营业额总体呈上升趋势D.M店营业额的极差比N店营业额的极差大
规律方法 折线图一般基于时间维度看数据量的变化趋势,发现整体走向和单体突出数据,比如通过折线图可以看出全年的新增用户变化情况,找出数据变化的高点和低点,折线图可以将不同纬度的数据放在一起比较,要看清图中所给的折线分别表达的意义.
对点训练2(2022全国甲,文2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案:B解析:对于A,中位数为(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A错误;对于B,平均数为89.5%>85%,B正确;对于C,从图中可以看出,讲座前问卷答题的正确率的波动幅度要大于讲座后问卷答题的正确率的波动幅度,故C错误;对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为35%,D错误.故选B.
例3(2022全国乙,文4)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是( )A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
解析:由茎叶图可得甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 =7.4,故A正确;甲同学有6周的课外体育运动时长大于8,由频率估计概率,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为 <0.4,故C错误;观察乙同学16周的各周课外体育运动时长数据,∴乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,故B正确;乙同学仅有3周的课外体育运动时长小于8,由频率估计概率,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为 >0.6,故D正确.
规律方法 1.一般制作茎叶图的方法是将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序由上到下列出.2.茎叶图的优缺点如下:(1)优点:一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况.(2)缺点:样本数据较多或数据位数较多时,不方便表示数据.3.对于给定两组数据的茎叶图,可根据“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小来估计数字特征.
对点训练3某中学数学竞赛培训班共有10人,分为甲,乙两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,已知甲组5名同学成绩的平均数为81,乙组5名同学成绩的中位数为73,则x-y的值为( )A.2B.-2C.3D.-3
答案:D 解析:根据茎叶图中的数据,得甲班5名同学成绩的平均数为 ×(72+77+80+x+86+90)=81,解得x=0;又乙班5名同学的中位数为73,则y=3.x-y=0-3=-3.故选D.
例4(2023河南开封模拟)某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导,对该校120名老师进行考试,并将考试的分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成如图所示频率分布直方图.已知a,b,c成等差数列,分值在[90,100]的人数为12.
(1)求图中a,b,c的值;(2)若思想道德分值的平均数、中位数均超过75,则认为该学校老师思想道德良好,试判断该学校老师的思想道德是否良好.
因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.又因为(a+c+b+0.005+0.035)×10=1,所以a+c+b=0.06,解得b=0.02,a=0.03.(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77>75,这组数据的中位数m满足10×0.005+10×0.02+(m-70)×0.035=0.5,解得m≈77.1>75,所以该学校老师思想道德良好.
对点训练4(1) 为了解学生参加“阳光体育”活动的情况,某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间(单位:分钟),已知所得样本数据都在区间[10,110]内,样本频率分布直方图如图所示,则该样本数据的中位数的估计值为( )A.60B.65
(2)某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照[80,90),[90,100),…,[140,150]分成7组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图,下列说法正确的是( )①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数约为110
②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3 ③若该商场有1 000名职工,考试成绩在110分以下的被解雇,则解雇的职工有400人 ④若该商场有1 000名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过140分(包括140分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有50人A.①③B.②③C.②④D.①④
答案:(1)C (2)B 解析:(1)由频率分布直方图,得[10,60)的频率为(0.004+0.012)×25=0.4,[60,85)的频率为0.016×25=0.4,
对于②,设该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数为x,则0.005 0×10+0.015 0×10+0.020 0×10+(x-110)×0.030=0.5,解得x≈113.3,故②正确;
对于③,考试成绩在110分以下的有1 000×(0.005+0.015+0.02)×10=400(人),故③正确;对于④,安全知识考试超过140分(包括140分)的人员有1 000×0.002 5×10=25(人),则安全科成员有25人,故④错误.故选B.
1.统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤①求极差(即一组数据中 与 的差); ②决定 与 ; ③将数据 ; ④列 ; ⑤画 .
(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得到频率分布折线图. ②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时 增加, 减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息. (3)茎叶图:茎叶图中茎是指 的一列数,叶是从茎的 生长出来的数.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表示都带来方便.
(4)茎叶图的画法步骤第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列;第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.
2.样本的数字特征 统计学中描述随机样本的某些特征的数字
例1(1)(2021天津,4)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[66,70),[70,74),…, [94,98],并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是( )A.20B.40C.64D.80
(2)(2021全国甲,文2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案:(1)D (2)C 解析:(1)由频率分布直方图可知,评分在区间[82,86)内的影视作品数量为400×0.05×4=80,故选D.(2)该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1=6%,A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=10%,B正确;该地农户家庭年收入的平均值为0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68,C不正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=64%,D正确.
规律方法 频率、频数、样本容量的计算方法
对点训练1(2020天津,4)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…, [5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18 C.20D.36
答案:B 解析:在[5.43,5.47)的频率为(6.25+5.00)×0.02=0.225,∴0.225×80=18.故选B.
例2某公司为了研究M,N两个店的销售情况,统计了2022年2月至7月M,N两店每月的营业额(单位:万元),得到如图折线图,则下列说法错误的是( )A.N店营业额的平均值是29B.M店营业额的平均值在[34,35]内C.N店营业额总体呈上升趋势D.M店营业额的极差比N店营业额的极差大
规律方法 折线图一般基于时间维度看数据量的变化趋势,发现整体走向和单体突出数据,比如通过折线图可以看出全年的新增用户变化情况,找出数据变化的高点和低点,折线图可以将不同纬度的数据放在一起比较,要看清图中所给的折线分别表达的意义.
对点训练2(2022全国甲,文2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案:B解析:对于A,中位数为(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A错误;对于B,平均数为89.5%>85%,B正确;对于C,从图中可以看出,讲座前问卷答题的正确率的波动幅度要大于讲座后问卷答题的正确率的波动幅度,故C错误;对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为35%,D错误.故选B.
例3(2022全国乙,文4)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是( )A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
解析:由茎叶图可得甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 =7.4,故A正确;甲同学有6周的课外体育运动时长大于8,由频率估计概率,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为 <0.4,故C错误;观察乙同学16周的各周课外体育运动时长数据,∴乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,故B正确;乙同学仅有3周的课外体育运动时长小于8,由频率估计概率,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为 >0.6,故D正确.
规律方法 1.一般制作茎叶图的方法是将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序由上到下列出.2.茎叶图的优缺点如下:(1)优点:一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况.(2)缺点:样本数据较多或数据位数较多时,不方便表示数据.3.对于给定两组数据的茎叶图,可根据“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小来估计数字特征.
对点训练3某中学数学竞赛培训班共有10人,分为甲,乙两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,已知甲组5名同学成绩的平均数为81,乙组5名同学成绩的中位数为73,则x-y的值为( )A.2B.-2C.3D.-3
答案:D 解析:根据茎叶图中的数据,得甲班5名同学成绩的平均数为 ×(72+77+80+x+86+90)=81,解得x=0;又乙班5名同学的中位数为73,则y=3.x-y=0-3=-3.故选D.
例4(2023河南开封模拟)某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导,对该校120名老师进行考试,并将考试的分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成如图所示频率分布直方图.已知a,b,c成等差数列,分值在[90,100]的人数为12.
(1)求图中a,b,c的值;(2)若思想道德分值的平均数、中位数均超过75,则认为该学校老师思想道德良好,试判断该学校老师的思想道德是否良好.
因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.又因为(a+c+b+0.005+0.035)×10=1,所以a+c+b=0.06,解得b=0.02,a=0.03.(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77>75,这组数据的中位数m满足10×0.005+10×0.02+(m-70)×0.035=0.5,解得m≈77.1>75,所以该学校老师思想道德良好.
对点训练4(1) 为了解学生参加“阳光体育”活动的情况,某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间(单位:分钟),已知所得样本数据都在区间[10,110]内,样本频率分布直方图如图所示,则该样本数据的中位数的估计值为( )A.60B.65
(2)某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照[80,90),[90,100),…,[140,150]分成7组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图,下列说法正确的是( )①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数约为110
②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3 ③若该商场有1 000名职工,考试成绩在110分以下的被解雇,则解雇的职工有400人 ④若该商场有1 000名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过140分(包括140分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有50人A.①③B.②③C.②④D.①④
答案:(1)C (2)B 解析:(1)由频率分布直方图,得[10,60)的频率为(0.004+0.012)×25=0.4,[60,85)的频率为0.016×25=0.4,
对于②,设该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数为x,则0.005 0×10+0.015 0×10+0.020 0×10+(x-110)×0.030=0.5,解得x≈113.3,故②正确;
对于③,考试成绩在110分以下的有1 000×(0.005+0.015+0.02)×10=400(人),故③正确;对于④,安全知识考试超过140分(包括140分)的人员有1 000×0.002 5×10=25(人),则安全科成员有25人,故④错误.故选B.
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