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备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 解答题专项四 立体几何中的综合问题课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 解答题专项四 立体几何中的综合问题课件PPT，共38页。
考情分析:从近五年的高考试题来看,立体几何解答题是高考的重点内容之一,每年必考,一般处在试卷第18题或者第19题上,主要考查空间线线、线面、面面的平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积,试题以中档难度为主.着重考查推理论证能力和空间想象能力以及转化与化归思想,几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主.
考向1平行、垂直关系的证明例1 在如图所示的多面体中,四边形ABCD是正方形, A,D,E,F四点共面,AF∥平面CDE.(1)求证:BF∥平面CDE;(2)若AD=DE=3,AF=1,EF= ,求证:AD⊥平面CDE.
证明:(1)因为ABCD是正方形,所以AB∥CD.又AB⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AB∥平面CDE.因为AF∥平面CDE,AF∩AB=A,AF⊂平面ABF,AB⊂平面ABF,所以平面ABF∥平面CDE.又BF⊂平面ABF,所以BF∥平面CDE.
(2)在平面ADEF中,作FG∥AD交DE于点G,因为AF∥平面CDE,AF⊂平面ADEF,平面ADEF∩平面CDE=DE,所以AF∥DE.又因为FG∥AD,所以四边形ADGF为平行四边形.所以DG=AF=1,FG=AD=3,EG=DE-DG=2.因为EF= ,所以EF2=FG2+EG2,所以∠FGE=90°,所以FG⊥DE,所以AD⊥DE.又由AD⊥DC,DE∩DC=D,DE⊂平面CDE,DC⊂平面CDE,所以AD⊥平面CDE.
规律方法 立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系在一定条件下既可以纵向转化(线线平行、线面平行、面面平行之间的转化或线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化),也可以横向转化(主要有由线线平行转化为线面垂直、线面垂直转化为线线平行、面面平行),解题时要认真审题,根据题设与定理合理转化,解决问题.
对点训练1如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明:(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,∴CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF.又BE⊥CD,EF∩BE=E,EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,∴CD⊥平面BEF,又CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.
考向2立体几何中的体积、距离的计算问题例2(2022全国甲,文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB, △FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF∥平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
解:(1)过点E作EE'⊥AB于点E',过点F作FF'⊥BC于点F',连接E'F'.∵底面ABCD是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四边形EE'F'F是平行四边形,则EF∥E'F'.∵E'F'⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.
(2)过点G,H分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于点G',H',连接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA的中点,EFGH-E'F'G'H'为长方体,故该包装盒由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.∵底面ABCD是边长为8的正方形,
规律方法 空间位置关系的证明、几何体体积计算、点到平面距离,这是高考对立体几何解答题的常见考查方向.求距离或体积时常有两种思路:一是依据线面、面面的垂直关系,确定垂线的垂足,并转化到三角形中求解;二是由三棱锥等几何体的特征,利用等体积变换解决问题.
对点训练2 (2022全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD, ∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.
(1)证明:∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E为AC的中点,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E为AC的中点,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.
考向3立体几何中角的计算问题例3 如图,已知A,C是直径为BD的球O表面上两点,BA=BC=2.(1)证明:BD⊥AC;(2)若AC=3,二面角A-BD-C的大小为120°,求直线AD与平面AOC所成角的正弦值.
规律方法 立体几何关于角的计算问题,包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角,求异面直线所成角主要是平移法;线面角和二面角平面角主要是定义法,根据定义及几何体特征,利用垂直关系构造角,并转化到三角形中计算.
对点训练3如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
考向4翻折问题例4如图,AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高,AD=AE=CD=4,点M是线段AE的中点,将该等腰梯形沿着两高AD,BC折叠成如图所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合,记为点P).(1)求证:BM⊥DP;(2)求点M到平面BDP的距离.
(1)证明:因为AD⊥EF,所以AD⊥AP,AD⊥AB.又AP∩AB=A,AP⊂平面ABP,AB⊂平面ABP,所以AD⊥平面ABP.因为BM⊂平面ABP,所以AD⊥BM.由已知得,AB=AP=BP=4,所以△ABP是等边三角形.又因为点M是AP的中点,所以BM⊥AP.因为AD⊥BM,AP⊥BM,AD∩AP=A,AD⊂平面ADP,AP⊂平面ADP,所以BM⊥平面ADP.因为DP⊂平面ADP,所以BM⊥DP.
规律方法 翻折问题的两个解题策略
对点训练4(2022山西临汾二模)如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD,线段AD上有一点E,满足CD=DE=1,AE=BC=2,现将△ABE,△CDE分别沿BE,CE折起,使AD= ,BD= ,得到如图②所示的几何体.
(1)求证:在图②中,AB∥CD;(2)求多面体EABCD的体积.
所以EC2+BE2=BC2,所以BE⊥EC,同理可得,在△ABE中,AB= ,且AB⊥BE.在图②中,在△ABD中,AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD,又BD∩BE=B,所以AB⊥平面BDE,在△BDC中,BD2+CD2=BC2,则BD⊥CD,又ED⊥CD,ED∩BD=D,所以CD⊥平面BDE,所以AB∥CD.
(2)解:由(1)可知AB⊥平面BDE,CD⊥平面BDE,所以AB,CD分别为三棱锥A-BDE,三棱锥C-BDE的高.
考向5立体几何中的探索性问题例5(2022安徽“江南十校”一模联考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG,满足BD=BG,再将其沿AB,BC折起使得BD与BG重合,连接EF.
(1)判断A,C,F,E四点是否共面,并说明理由;(2)若BC=2AB=4,∠BCF=120°,设M是线段FC上一点,连接EM与DM.判断平面EDM与平面BCFD是否垂直,并求三棱柱ABC-EDF的侧面积.
解:(1)A,C,F,E四点共面,理由如下:∵AE∥BD,BG∥CF,D,G重合,∴AE∥CF,故A,C,F,E四点共面.(2)∵AB⊥BD,AB⊥BC且BD∩BC=B,∴AB⊥平面BCFD,又AB∥ED,则ED⊥平面BCFD.又ED⊂平面EDM,∴平面EDM⊥平面BCFD.又FC⊂平面BCFD,∴ED⊥FC.当DM⊥FC时,由于ED∩DM=D,故FC⊥平面EDM,则FC⊥EM.在菱形BDFC中,∠BCF=120°,DF=4,则DM=DF·sin 60°=2 ,又ED=AB=2,
规律方法 1.对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足,则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设.2.对命题条件探索的三种途径途径一:先猜后证.途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.途径三:将几何问题转化为代数问题.
对点训练5如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面PBC,点E是PC的中点.(1)求证:平面PDC⊥平面ABCD;(2)线段PA上是否存在一点F,使得三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证明:因为DE⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DE⊥BC.因为四边形ABCD是矩形,所以BC⊥DC.又DE∩DC=D,DE,DC均在平面PDC中,所以BC⊥平面PDC.因为BC⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.
(2)解:假设线段PA上存在一点F,使得VF-ABD=VP-BDE,因为点E为PC的中点,所以VP-BDE=VC-BDE=VE-BCD,所以VF-ABD=VE-BCD.因为S△ABD=S△BCD,所以点E,F到平面ABCD的距离相等,所以EF∥平面ABCD.取点F为PA的中点,连接EF,AC,因为EF∥AC,EF⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.所以存在点F,且点F是线段PA的中点时,三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积.
考情分析:从近五年的高考试题来看,立体几何解答题是高考的重点内容之一,每年必考,一般处在试卷第18题或者第19题上,主要考查空间线线、线面、面面的平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积,试题以中档难度为主.着重考查推理论证能力和空间想象能力以及转化与化归思想,几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主.
考向1平行、垂直关系的证明例1 在如图所示的多面体中,四边形ABCD是正方形, A,D,E,F四点共面,AF∥平面CDE.(1)求证:BF∥平面CDE;(2)若AD=DE=3,AF=1,EF= ,求证:AD⊥平面CDE.
证明:(1)因为ABCD是正方形,所以AB∥CD.又AB⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AB∥平面CDE.因为AF∥平面CDE,AF∩AB=A,AF⊂平面ABF,AB⊂平面ABF,所以平面ABF∥平面CDE.又BF⊂平面ABF,所以BF∥平面CDE.
(2)在平面ADEF中,作FG∥AD交DE于点G,因为AF∥平面CDE,AF⊂平面ADEF,平面ADEF∩平面CDE=DE,所以AF∥DE.又因为FG∥AD,所以四边形ADGF为平行四边形.所以DG=AF=1,FG=AD=3,EG=DE-DG=2.因为EF= ,所以EF2=FG2+EG2,所以∠FGE=90°,所以FG⊥DE,所以AD⊥DE.又由AD⊥DC,DE∩DC=D,DE⊂平面CDE,DC⊂平面CDE,所以AD⊥平面CDE.
规律方法 立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系在一定条件下既可以纵向转化(线线平行、线面平行、面面平行之间的转化或线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化),也可以横向转化(主要有由线线平行转化为线面垂直、线面垂直转化为线线平行、面面平行),解题时要认真审题,根据题设与定理合理转化,解决问题.
对点训练1如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明:(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,∴CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF.又BE⊥CD,EF∩BE=E,EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,∴CD⊥平面BEF,又CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.
考向2立体几何中的体积、距离的计算问题例2(2022全国甲,文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB, △FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF∥平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
解:(1)过点E作EE'⊥AB于点E',过点F作FF'⊥BC于点F',连接E'F'.∵底面ABCD是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四边形EE'F'F是平行四边形,则EF∥E'F'.∵E'F'⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.
(2)过点G,H分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于点G',H',连接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA的中点,EFGH-E'F'G'H'为长方体,故该包装盒由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.∵底面ABCD是边长为8的正方形,
规律方法 空间位置关系的证明、几何体体积计算、点到平面距离,这是高考对立体几何解答题的常见考查方向.求距离或体积时常有两种思路:一是依据线面、面面的垂直关系,确定垂线的垂足,并转化到三角形中求解;二是由三棱锥等几何体的特征,利用等体积变换解决问题.
对点训练2 (2022全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD, ∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.
(1)证明:∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E为AC的中点,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E为AC的中点,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.
考向3立体几何中角的计算问题例3 如图,已知A,C是直径为BD的球O表面上两点,BA=BC=2.(1)证明:BD⊥AC;(2)若AC=3,二面角A-BD-C的大小为120°,求直线AD与平面AOC所成角的正弦值.
规律方法 立体几何关于角的计算问题,包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角,求异面直线所成角主要是平移法;线面角和二面角平面角主要是定义法,根据定义及几何体特征,利用垂直关系构造角,并转化到三角形中计算.
对点训练3如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
考向4翻折问题例4如图,AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高,AD=AE=CD=4,点M是线段AE的中点,将该等腰梯形沿着两高AD,BC折叠成如图所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合,记为点P).(1)求证:BM⊥DP;(2)求点M到平面BDP的距离.
(1)证明:因为AD⊥EF,所以AD⊥AP,AD⊥AB.又AP∩AB=A,AP⊂平面ABP,AB⊂平面ABP,所以AD⊥平面ABP.因为BM⊂平面ABP,所以AD⊥BM.由已知得,AB=AP=BP=4,所以△ABP是等边三角形.又因为点M是AP的中点,所以BM⊥AP.因为AD⊥BM,AP⊥BM,AD∩AP=A,AD⊂平面ADP,AP⊂平面ADP,所以BM⊥平面ADP.因为DP⊂平面ADP,所以BM⊥DP.
规律方法 翻折问题的两个解题策略
对点训练4(2022山西临汾二模)如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD,线段AD上有一点E,满足CD=DE=1,AE=BC=2,现将△ABE,△CDE分别沿BE,CE折起,使AD= ,BD= ,得到如图②所示的几何体.
(1)求证:在图②中,AB∥CD;(2)求多面体EABCD的体积.
所以EC2+BE2=BC2,所以BE⊥EC,同理可得,在△ABE中,AB= ,且AB⊥BE.在图②中,在△ABD中,AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD,又BD∩BE=B,所以AB⊥平面BDE,在△BDC中,BD2+CD2=BC2,则BD⊥CD,又ED⊥CD,ED∩BD=D,所以CD⊥平面BDE,所以AB∥CD.
(2)解:由(1)可知AB⊥平面BDE,CD⊥平面BDE,所以AB,CD分别为三棱锥A-BDE,三棱锥C-BDE的高.
考向5立体几何中的探索性问题例5(2022安徽“江南十校”一模联考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG,满足BD=BG,再将其沿AB,BC折起使得BD与BG重合,连接EF.
(1)判断A,C,F,E四点是否共面,并说明理由;(2)若BC=2AB=4,∠BCF=120°,设M是线段FC上一点,连接EM与DM.判断平面EDM与平面BCFD是否垂直,并求三棱柱ABC-EDF的侧面积.
解:(1)A,C,F,E四点共面,理由如下:∵AE∥BD,BG∥CF,D,G重合,∴AE∥CF,故A,C,F,E四点共面.(2)∵AB⊥BD,AB⊥BC且BD∩BC=B,∴AB⊥平面BCFD,又AB∥ED,则ED⊥平面BCFD.又ED⊂平面EDM,∴平面EDM⊥平面BCFD.又FC⊂平面BCFD,∴ED⊥FC.当DM⊥FC时,由于ED∩DM=D,故FC⊥平面EDM,则FC⊥EM.在菱形BDFC中,∠BCF=120°,DF=4,则DM=DF·sin 60°=2 ,又ED=AB=2,
规律方法 1.对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足,则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设.2.对命题条件探索的三种途径途径一:先猜后证.途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.途径三:将几何问题转化为代数问题.
对点训练5如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面PBC,点E是PC的中点.(1)求证:平面PDC⊥平面ABCD;(2)线段PA上是否存在一点F,使得三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证明:因为DE⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DE⊥BC.因为四边形ABCD是矩形,所以BC⊥DC.又DE∩DC=D,DE,DC均在平面PDC中,所以BC⊥平面PDC.因为BC⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.
(2)解:假设线段PA上存在一点F,使得VF-ABD=VP-BDE,因为点E为PC的中点,所以VP-BDE=VC-BDE=VE-BCD,所以VF-ABD=VE-BCD.因为S△ABD=S△BCD,所以点E,F到平面ABCD的距离相等,所以EF∥平面ABCD.取点F为PA的中点,连接EF,AC,因为EF∥AC,EF⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.所以存在点F,且点F是线段PA的中点时,三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积.
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