备战2024年高考总复习一轮（数学）选修4—5 不等式选讲第1节绝对值不等式课件PPT

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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）选修4—5 不等式选讲第1节绝对值不等式课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，a+b，ab≥0，-c≤ax+b≤c，已知条件，要证的结论，充分条件，一个明显成立的事实等内容，欢迎下载使用。

1.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤　　　　,当且仅当　　　时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当　　　　　时,等号成立. 微点拨由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|,②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,③||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
(a-b)(b-c)≥0
2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a(a>0)的解法:①|x|a⇔x>a或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|ax+b|≤c⇔　　　　　　　　; ②|ax+b|≥c⇔　　　　　　　　　　. (3)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方转化为二次不等式求解.
ax+b≥c或ax+b≤-c
(4)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“分段讨论法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.
微点拨1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题,能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.2.绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到左是一个缩小过程,证明不等式可以直接用,也可利用它消去变量求最大(小)值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具,但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.
3.基本不等式定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥　　　,当且仅当a=b时,等号成立.
4.柯西不等式(1)定理1:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)定理2:柯西不等式的向量形式,设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
5.不等式证明的方法(1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.证明步骤:作差(或作商)→变形→判断符号(或判断与0或1的大小关系)→得出结论.(2)综合法:从　　　　　　　出发,利用　　　　、公理、　　　　、性质等,经过一系列的　　　　、　　　而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推论证法或由因导果法. (3)分析法:证明命题时,从　　　　　　　出发,逐步寻求使它成立的　　　　　,直至所需条件为　　　　　　或　　　　　　　(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.
(4)反证法:证明命题时先假设要证的命题　　　　　,以此为出发点,结合　　　　　　,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)　　　　的结论,以说明假设不正确,从而得出原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法.(5)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值　　　　或　　　　,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
微点拨1.作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式,作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构.2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或出现否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法.3.放缩是一种能力,如何把握放缩的“度”,使得放缩“恰到好处”,这正是放缩法的精髓和关键所在!
例1(2020全国Ⅰ,文23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.
规律方法形如|x-a|+|x-b|≥c或≤c(c>0)的不等式的解法
对点训练1已知函数f(x)=|x-1|+3|x+1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)>f(x-1)的解集.
考向1利用函数图象平移法求参数范围例2(2021全国甲,文23)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
规律方法求与绝对值不等式有关的参数范围,可以通过构造函数或者利用已有的函数,画出函数的图象,通过观察图象的位置关系找出使不等式恒成立的范围.
对点训练2已知函数f(x)=|x+1|+|2x-5|-7.(1)在如图所示的网格中画出函数y=f(x)的图象;(2)若当x<1时,f(x)>f(x+a)恒成立,求a的取值范围.
(2)当a<0时,y=f(x)的图象向右平移-a个单位长度得到y=f(x+a)的图象,此时对任意x<1,y=f(x+a)总在y=f(x)的上方,不满足条件.当a>0时,y=f(x+a)的图象最多平移到与y=f(x)的图象交于点(1,-2)的位置,此时a=2,故a的取值范围是(0,2].
考向2利用分离参数法求参数范围例3(2022河南焦作三模)已知函数f(x)=|x+2|-|x-6|.(1)求不等式f(x)<4的解集;(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≤x2+2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
当x≤-2时,f(x)=-8<4恒成立;当-26时,f(x)=8<4,无解.综上所述,不等式f(x)<4的解集为(-∞,4).
(2)由f(x)≤x2+2x+m得m≥|x+2|-|x-6|-x2-2x.当x≤-2时,g(x)单调递增,g(x)≤g(-2)=-8;当-26时,g(x)单调递减,g(x)规律方法在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.
对点训练3(2023江西上饶模拟)已知函数f(x)=x2+5x,g(x)=|x-2|-|x+3|.(1)求不等式g(x)≤2的解集;(2)若关于x的不等式f(m)-m≤g(x)的解集非空,求m的取值范围.
(2)由f(m)-m≤g(x)有解,得m2+4m≤|x-2|-|x+3|有解,而|x-2|-|x+3|≤|x-2-x-3|≤5,当且仅当x≤-3时,等号成立,所以m2+4m≤5,解得-5≤m≤1,所以m的取值范围是[-5,1].
考向3利用绝对值三角不等式求参数范围例4(2021全国乙,文23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.
解: (1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x-1|+|x+3|≥6.当x≤-3时,不等式可化为1-x-x-3≥6,解得x≤-4;当-3(2)若f(x)>-a,则f(x)min>-a.因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)≤0时,等号成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,即a+3-a,
规律方法求与绝对值不等式有关的参数范围,可利用绝对值三角不等式消去变量x,从而得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.
对点训练4(2022河南郑州二模)已知f(x)=|x-a|.(1)若f(x)≥|2x-1|的解集为[0,2],求实数a的值;(2)若对于任意的x∈R,不等式f(x)+|x+2a|>2a+3恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)由f(x)≥|2x-1|,得|x-a|≥|2x-1|,即(x-a)2≥(2x-1)2,整理得3x2+(2a-4)x+(1-a2)≤0,∴0和2是方程3x2+(2a-4)x+(1-a2)=0的两根,解得a=-1,即实数a的值为-1.
(2)∵f(x)+|x+2a|=|x-a|+|x+2a|≥|x-a-(x+2a)|=3|a|,当且仅当(x-a)(x+2a)≤0时,等号成立,即f(x)+|x+2a|的最小值为3|a|,由f(x)+|x+2a|>2a+3恒成立,只需3|a|>2a+3;
考向4利用函数最大(小)值求参数范围例5已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)当f(1)+f(-1)>1时,求a的取值范围;(2)若a>0,对∀x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤ +|y-a|恒成立,求a的取值范围.
规律方法 1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最大(小)值得到关于参数的不等式,解不等式,得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a有解⇔f(x)max>a;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)对点训练5(2022安徽马鞍山一模)已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f(x)≤0的解集;(2)若二次函数y=x2-2x+2与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.
(2)由二次函数y=x2-2x+2=(x-1)2+1,知函数在x=1处取得最小值1,当x<-1时,2x+m1时,-2x+m考向1利用基本不等式求最大(小)值例6(2022山西太原一模)已知函数f(x)=|x-1|-|2x-1|.(1)求满足不等式f(x)≥-1的最大整数a;(2)在(1)的条件下,对任意x,y∈(a,+∞),若x+y=4,
对点训练6已知函数f(x)=|x-4|+|1-x|,x∈R.(1)解不等式f(x)≤5;
考向2利用放缩法求最值例7设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥ 成立,证明:a≤-3或a≥-1.
(2)证明:由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],
规律方法利用放缩法求代数式的最大(小)值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最大(小)值.
对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|≥9,求实数m的取值范围;
解:(1)因为2m-n=3,所以2m=n+3.|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,所以|m|≥3,所以m≤-3或m≥3.故m的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).
考向3利用柯西不等式求最值例8(2022山西太原三模)已知函数f(x)=|x+2|-m,m∈R,且f(x)≤0的解集为[-3,-1].(1)求m的值;
规律方法利用柯西不等式求最大(小)值时,一定要满足柯西不等式的形式,有时可能需要对不等式变形才能用柯西不等式.
对点训练8已知函数f(x)=|x+1|-|2x-4|.(1)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(2)若对∀x∈R,f(x)≤t恒成立,t的最小值为m,且正实数a,b,c满足