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备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件PPT，共53页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，圆与圆的位置关系，dr1+r2，一组实数解等内容，欢迎下载使用。
1.直线与圆的位置关系与判断方法
微点拨1.过一点求圆的切线方程时,要先判断点与圆的位置关系,以便确定切线的条数.2.切线长:从圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点M(x0,y0)引圆的两条切线,切线长为 .
|r1-r2|
常用结论1.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.3.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b) (y-b)=r2.4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.
6.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.7.过直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
考向1直线与圆的位置关系例1(1)(2022山东滨州二模)已知直线l:(m2+m+1)x+(3-2m)y-2m2-5=0,圆C:x2+y2-2x=0,则直线l与圆C的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.不确定(2)(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为 .
规律方法 关于直线与圆的位置关系的两个注意点(1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易求,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.
对点训练1(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定(2) 已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[0,2)D.(-∞,2)
答案:(1)B (2)A 解析:(1)因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,
考向2直线与圆位置关系的应用例2(1)(2020全国Ⅰ,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0
(3)(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ;b= .
又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.两圆方程相减,得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.
规律方法 过圆外一点的圆的切线方程的2种求法
对点训练2(1) 瑞士著名数学家欧拉证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为( )
(2) 已知过点P(2,2)且与两坐标轴都有交点的直线l与圆(x-1)2+y2=1相切,则直线l的方程为( )A.3x-4y+2=0B.4x-3y-2=0C.3x-4y+2=0或x=2D.4x-3y-2=0或x=2(3) 若P为直线x-y+4=0上一个动点,过点P作圆C:x2+y2-4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N),则|MN|的最小值是( )
答案:(1)A (2)A (3)B解析:(1)∵AB=AC=4,∴BC边上的高线、垂直平分线和中线三线合一,即△ABC的“欧拉线”是BC的垂直平分线,
(2)根据题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r=1,要求直线l与两坐标轴都有交点,则直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
(3)如图,由x2+y2-4x=0可得(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,如图所示,要使|MN|的长度最小,即要∠MCN最小,则∠MCP最小,
例3(1)(2022山东昌乐及第中学一模)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4,则实数a的值是( )A.-8B.-6C.-4D.-2(2)(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
(2)在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
规律方法 求直线被圆截得的弦长的常用方法
对点训练3(1)(2021北京,9)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m=( )
(2) 在平面直角坐标系中,直线x-y+1=0与圆C:x2+y2-2x-8y+13=0相交于A,B两点,P为圆C上的动点,则△PAB面积的最大值为( )
答案:(1)C (2)A
(3)(2022陕西宝鸡二模)从圆C1:x2+y2=4上的一点向圆C2:x2+y2=1引两条切线,连接两切点间的线段称为切点弦,则圆C2内不与任何切点弦相交的区域面积为( )
答案:(1)B (2)C (3)B
(3)如图所示,设A为C1上一点,AB,AC为圆C2的两条切线,BC为切点弦.切点弦有无数条,当无数条切点弦交汇时,圆C2内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分的圆,|AO|=2,|OB|=1,则|AB|= ,由等面积法得|AB|·|OB|=|AO|·|BD|,解得|BD|= .
规律方法 1.判断两圆的位置关系的方法:通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时计算很烦琐.2.两圆公共弦长的求法:先求出公共弦所在直线的方程,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长 ,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.3.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行化归,要注重数形结合思想的应用.
(2)(2022山东临沂二模)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则直线a2x+2b2y+3=0恒过定点M的坐标为 .
(2)由两圆的方程相减,得公共弦所在直线方程为x2+y2-[(x-a)2+(y-b)2]=0,即直线AB:2ax+2by-a2-b2=0.由公共弦AB的长为1,得直线AB:2ax+2by-a2-b2=0与圆C1:x2+y2=1相交弦长为1.
例5已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
规律方法 1.利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决.2.直线与圆和平面几何联系十分紧密,可充分考虑平面几何知识的运用,如在直线与圆相交的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.
对点训练5 已知圆C经过坐标原点,圆心在x轴正半轴上,且与直线3x+4y-8=0相切.(1)求圆C的标准方程.(2)直线l:y=kx+2与圆C交于A,B两点.①求k的取值范围;②证明:直线OA与直线OB的斜率之和为定值.
1.直线与圆的位置关系与判断方法
微点拨1.过一点求圆的切线方程时,要先判断点与圆的位置关系,以便确定切线的条数.2.切线长:从圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点M(x0,y0)引圆的两条切线,切线长为 .
|r1-r2|
常用结论1.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.3.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b) (y-b)=r2.4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.
6.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.7.过直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
考向1直线与圆的位置关系例1(1)(2022山东滨州二模)已知直线l:(m2+m+1)x+(3-2m)y-2m2-5=0,圆C:x2+y2-2x=0,则直线l与圆C的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.不确定(2)(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为 .
规律方法 关于直线与圆的位置关系的两个注意点(1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易求,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.
对点训练1(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定(2) 已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[0,2)D.(-∞,2)
答案:(1)B (2)A 解析:(1)因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,
考向2直线与圆位置关系的应用例2(1)(2020全国Ⅰ,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0
(3)(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ;b= .
又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.两圆方程相减,得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.
规律方法 过圆外一点的圆的切线方程的2种求法
对点训练2(1) 瑞士著名数学家欧拉证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为( )
(2) 已知过点P(2,2)且与两坐标轴都有交点的直线l与圆(x-1)2+y2=1相切,则直线l的方程为( )A.3x-4y+2=0B.4x-3y-2=0C.3x-4y+2=0或x=2D.4x-3y-2=0或x=2(3) 若P为直线x-y+4=0上一个动点,过点P作圆C:x2+y2-4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N),则|MN|的最小值是( )
答案:(1)A (2)A (3)B解析:(1)∵AB=AC=4,∴BC边上的高线、垂直平分线和中线三线合一,即△ABC的“欧拉线”是BC的垂直平分线,
(2)根据题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r=1,要求直线l与两坐标轴都有交点,则直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
(3)如图,由x2+y2-4x=0可得(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,如图所示,要使|MN|的长度最小,即要∠MCN最小,则∠MCP最小,
例3(1)(2022山东昌乐及第中学一模)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4,则实数a的值是( )A.-8B.-6C.-4D.-2(2)(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
(2)在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
规律方法 求直线被圆截得的弦长的常用方法
对点训练3(1)(2021北京,9)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m=( )
(2) 在平面直角坐标系中,直线x-y+1=0与圆C:x2+y2-2x-8y+13=0相交于A,B两点,P为圆C上的动点,则△PAB面积的最大值为( )
答案:(1)C (2)A
(3)(2022陕西宝鸡二模)从圆C1:x2+y2=4上的一点向圆C2:x2+y2=1引两条切线,连接两切点间的线段称为切点弦,则圆C2内不与任何切点弦相交的区域面积为( )
答案:(1)B (2)C (3)B
(3)如图所示,设A为C1上一点,AB,AC为圆C2的两条切线,BC为切点弦.切点弦有无数条,当无数条切点弦交汇时,圆C2内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分的圆,|AO|=2,|OB|=1,则|AB|= ,由等面积法得|AB|·|OB|=|AO|·|BD|,解得|BD|= .
规律方法 1.判断两圆的位置关系的方法:通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时计算很烦琐.2.两圆公共弦长的求法:先求出公共弦所在直线的方程,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长 ,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.3.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行化归,要注重数形结合思想的应用.
(2)(2022山东临沂二模)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则直线a2x+2b2y+3=0恒过定点M的坐标为 .
(2)由两圆的方程相减,得公共弦所在直线方程为x2+y2-[(x-a)2+(y-b)2]=0,即直线AB:2ax+2by-a2-b2=0.由公共弦AB的长为1,得直线AB:2ax+2by-a2-b2=0与圆C1:x2+y2=1相交弦长为1.
例5已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
规律方法 1.利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决.2.直线与圆和平面几何联系十分紧密,可充分考虑平面几何知识的运用,如在直线与圆相交的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.
对点训练5 已知圆C经过坐标原点,圆心在x轴正半轴上,且与直线3x+4y-8=0相切.(1)求圆C的标准方程.(2)直线l:y=kx+2与圆C交于A,B两点.①求k的取值范围;②证明:直线OA与直线OB的斜率之和为定值.
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