2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练46 双曲线

课时规范练46　双曲线

基础巩固组

1.(2022江西吉安期末)若双曲线C:=10<θ<的离心率为,则θ= (　　)

A. B. C. D.

2.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(　　)

A. B. C. D.

3.(2021北京,5)双曲线C:=1过点(),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为(　　)

A.x2-=1 B.-y2=1

C.x2-=1 D.-y2=1

4.已知双曲线=1(m>0)的渐近线方程为x±y=0,则m=(　　)

A. B.-1 

C. D.2

5.(2021全国乙,文14)双曲线=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　. 

6.(2022北京,12)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　　. 

综合提升组

7.(2022河南焦作二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

8.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1|=3|HF2|,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

9.已知F(c,0)(其中c>0)是双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A,B两点,已知l的倾斜角为30°,则tan∠AFB=(　　)

A.- B.- 

C.-2 D.-2

10.(2022全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　　. 

创新应用组

11.(2021浙江,9)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是(　　)

A.直线和圆 B.直线和椭圆

C.直线和双曲线 D.直线和抛物线

参考答案

课时规范练46　双曲线

1.C　设双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距分别为a,b,c,则由题意,得a=cos θ,b=sin θ,c==1.又离心率为,则,cos θ=.又0<θ<,所以θ=.故选C.

2.A　由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为.故选A.

3.A　∵e2=1+=4,则b2=3a2,则双曲线的方程为=1,由双曲线过点(),得=1,解得a2=1,则所求双曲线的方程为x2-=1.故选A.

4.A　由双曲线=1(m>0)的渐近线方程为x±y=0,得,解得m=.

5.　由双曲线方程可得c==3,即双曲线的右焦点为F(3,0).

则点F到直线x+2y-8=0的距离d=.

6.-3　由题意知a2=1,b2=-m,其中m<0,所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x,解得m=-3.

7.A　因为C的离心率为,所以它的渐近线的斜率为±=±=±2,则可取两条渐近线上的向量a=(1,2),b=(-1,2),渐近线所成的锐角即这两个向量的夹角,cos<a,b>=.

8.D　由题设知双曲线C的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,由题意,|HF2|==b,∴|OH|=a,由cyH=ab,得yH=,∴H,∴|HF1|==3|HF2|=3b,两边平方化简并结合c2=a2+b2,得a4-a2b2=2b4,∴22+2-1=0,解得,∴e2=1+,e=,故选D.

9.C　由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,圆x2+y2-2cx+b2=0化为(x-c)2+y2=a2,圆心(c,0),半径为a,l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,由l的倾斜角为30°,可得=tan 30°=,过F作FD⊥AB,点D为垂足,F(c,0)到直线l的距离为|FD|==b,∴|BD|=,则tan∠DFB=,得tan∠AFB=tan 2∠DFB==-2.故选C.

10.2(答案不唯一,只要1<e≤即可)　由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需≤2即可.

由≤2,得≤4,所以e2≤5,故1<e≤.

11.C　由题意得f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(s-t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,整理得-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0,所以-2as2+at2+2b=0或t=0,其中=1为双曲线,t=0为直线.故选C.