2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练35 直接证明与间接证明

课时规范练35　直接证明与间接证明

1.用合适的方法证明:

(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5≥a2b3+a3b2.

(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.

2.(2022吉林东北师大附中检测)已知数列{an},{bn}满足a1=4,a2=,an+1=,bn+1=(n∈N*).

(1)求证:anbn=4;

(2)求证:2<an+1<an;

(3)设数列{}的前n项和为Sn,求证:Sn<16+4n.

3.(1)用分析法证明:若x>1,则3x2+>3x+>3.

(2)用反证法证明:若a<e2,则函数f(x)=ax2-4ex(x>0)无零点.

4.列三角形数表:

假设第n行的第二个数为an(n≥2,n∈N*).

(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;

(2)求证:数列{an}(n≥2,n∈N*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.

参考答案

课时规范练35　直接证明

与间接证明

1.证明(1)综合法:

(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)·(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)·(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),

因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,

所以a5+b5≥a2b3+a3b2.

(2)反证法:

假设a不是偶数,即a是奇数,

不妨设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.

因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,

由上述矛盾可知,a一定是偶数.

2.证明(1)因为an+1bn+1==anbn,则{anbn}为常数列,

又a1=4,a2=,且a2=,则b1=1,故anbn=a1b1=4.

(2)由题易知an>0,bn>0,n∈N*.

由(1)可知bn=,所以an+1=an+≥×2=2,当且仅当an=2时取等号,

此时an+1=2,即{an}为常数列,an=2(n∈N*)与a1=4矛盾,

所以an>2(n∈N*),

所以an+1-an=-an=<0,

所以2<an+1<an.

(3)由(2)知an>2(n∈N*),所以=2=+8<+8=+3,

则-4<-4),故-4<(-4)n-1(n≥2),即<12×n-1+4(n≥2),

所以当n=1时,S1==16<16+4n,

当n≥2时,Sn<16+12+2+…+n-1+4(n-1)=16+12×+4(n-1)=16+4-n-2+4n-4=16+4n-n-2<16+4n.

综上,Sn<16+4n.

3.证明(1)因为x>1,所以要证3x2+>3x+,

只需证3x4+1>3x3+x,即证3x3(x-1)>x-1,所以只需证3x3>1.

因为x>1,所以3x3>3>1,故3x2+>3x+得证.

令t=>1,则3x+>3等价于3t2+>3t+,

又因为已证明3x2+>3x+,

所以3t2+>3t+.

故3x2+>3x+>3.

(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x>0)有零点,

则方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=在(0,+∞)上有解.

设g(x)=(x>0),g'(x)=(x>0),

当0<x<2时,g'(x)<0;当x>2时,g'(x)>0.

所以g(x)min=g(2)=e2,

又因为a<e2,所以a=在(0,+∞)上无解,

显然矛盾,故假设不成立,即原命题得证.

4.(1)解由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N*),

所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=+2=(n≥3).

又a2=2也满足上式,

∴an=(n≥2,n∈N*).

(2)证明(反证法)假设{an}中存在连续三项构成等差数列,

可设an-1,an,an+1(n≥3,n∈N*)成等差数列,则2an=an-1+an+1,即2×=n2-n+3,得0=1,显然矛盾,即假设不成立.

故数列{an}(n≥2,n∈N*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.