2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练59 不等式的证明

课时规范练59　不等式的证明

基础巩固组

1.(2020全国Ⅲ,文23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca<0;

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.

2.(2022陕西西安二模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-2|.

(1)求不等式f(x)≤4的解集;

(2)若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a+b=m,求证:>1.

3.(2022安徽安庆二模)已知函数f(x)=|2x+4|+|x-1|.

(1)求不等式f(x)>6的解集;

(2)设函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a2+9b2=m,求证:a+3b≥2ab.

综合提升组

4.已知f(x)=|x+1|+|x-3|.

(1)求不等式f(x)≤x+3的解集;

(2)若f(x)的最小值为m,正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:.

5.已知函数f(x)= |x-1|.

(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4;

(2)当x≠0,x∈R时,证明:f(-x)+f≥2.

6.已知函数f(x)=|x+m2|+|2x-m|(m>0).

(1)当m=1时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)若f(x)的最小值为,且a+b=m(a>0,b>0),求证:+2.

创新应用组

7.(2022江西南昌三模)已知函数f(x)=|x-2|+|x-4|,不等式f(x)≥kx(k>0)恒成立.

(1)求k的最大值k0;

(2)设a>0,b>0,求证:.

8.已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|.

(1)求不等式f(x)≥8的解集;

(2)设a,b,c∈R,且a+b+c=1,证明:≥1.

参考答案

课时规范练59　不等式的证明

1.证明 (1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.

(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.

由bc≤,可得abc≤,故a≥,所以max{a,b,c}≥.

2.(1)解当x<2时,f(x)=4-x+2-x=6-2x≤4,解得1≤x<2;

当2≤x≤4时,f(x)=4-x+x-2=2≤4,解得2≤x≤4;

当x>4时,f(x)=x-4+x-2=2x-6≤4,解得4<x≤5.

综上,不等式f(x)≤4的解集为[1,5].

(2)证明由(1)得,当x<2时,f(x)=6-2x>2;

当2≤x≤4时,f(x)=2;当x>4时,f(x)=2x-6>2,所以a+b=m=2.

又a,b为正实数,所以0<b<2,故>1,得证.

3.解(1)由条件可知原不等式可化为

①

②

③

解①得x>1;解②得x∈⌀;解③得x<-3,

所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞).

(2)因为f(x)=|2x+4|+|x-1|=

所以当x=-2时,函数f(x)的最小值为m=3,于是a2+9b2=3,

∵a>0,b>0,而3=a2+9b2≥2a·3b=6ab,于是0<ab≤.

∵≥2≥2,

∴a+3b≥2ab,原不等式得证.

4.(1)解 ①当x≤-1时,2-2x≤x+3,解得x≥-,则不等式的解集为空集;

②当-1<x≤3时,4≤x+3,解得1≤x≤3;

③当x>3时,2x-2≤x+3,解得x≤5,则3<x≤5.

综上,不等式的解集为{x|1≤x≤5}.

(2)证明 因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x+3|=4,当且仅当(x+1)·(x-3)≤0时,等号成立.所以m=4,所以a+b+c=m=4,[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·=≥2+2+2=,当且仅当a+b=b+c=c+a,即a=b=c=时,等号成立.

5.(1)解 由f(x)+f(x+1)≥4得|x-1|+|x|≥4,当x>1时,得2x-1≥4,解得x≥;

当0≤x≤1时,得1≥4,此时不等式无解;

当x<0时,得-2x+1≥4,此时x≤-.

所以不等式的解集为xx≥或x≤-.

(2)证明 f(-x)+f=|x+1|+-1,由绝对值三角不等式,得|x+1|+-1≥x+,又因为x,同号,所以x+=|x|+,由基本不等式得|x|+≥2,当且仅当|x|=1时,等号成立,所以f(-x)+f≥2.

6.(1)解 当m=1时,原不等式为|x+1|+|2x-1|≤6,

则

或

或

解得-2≤x<-1或-1≤x≤<x≤2,∴原不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤2}.

(2)证明 由题意得f(x)=

∴f(x)min=f=m2+m=,∴m=1或m=-(舍去),

∴a+b=1,令0<θ<,则+2=cos θ+2sin θ=sin(θ+φ)≤,

当θ=-φ0<φ<,且tan φ=时,上述不等式等号成立.

7.(1)解当x≤2时,f(x)=2-x+4-x=6-2x;

当2<x<4时,f(x)=x-2+4-x=2;当x≥4时,f(x)=x-2+x-4=2x-6.

由此可得f(x)的图象如下图所示,

∵f(x)≥kx(k>0)恒成立,则由图象可知,当y=kx过点(4,2)时,k取得最大值k0,∴k0=.

(2)证明由(1)知,只需证明.

令

解得-2≥2-2=,

当且仅当,即m=n时,等号成立,∴,即.

8.(1)解 由题意得,f(x)=|2x-4|+|x+1|=

不等式f(x)≥8,可转化为

解得x≤-或x≥,

故不等式的解集为xx≤-或x≥.

(2)证明 a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,

三式相加得a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,

又因为a2b2+b2c2≥2ab2c,a2b2+c2a2≥2a2bc,b2c2+c2a2≥2abc2,

三式相加得a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c),

又因为a+b+c=1,

所以a2b2+b2c2+c2a2≥abc,

即a4+b4+c4≥abc,

又因为abc>0,所以≥1,

即≥1,当且仅当a=b=c=时,等号成立.