2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练47 抛物线

课时规范练47　抛物线

基础巩固组

1.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线              (　　)

A.经过点O B.经过点P

C.平行于直线OP D.垂直于直线OP

2.(2020全国Ⅰ,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)

A.2 B.3 C.6 D.9

3.(2021新高考Ⅱ,3)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　)

A.1 B.2 C.2 D.4

4.(2022河北唐山期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两点,若-2=4,则=(　　)

A. B. C. D.2

5.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为(　　)

A.y2=x B.y2=x

C.y2=2x D.y2=2x

6.(2022江西九师联盟期末)已知F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为C上一点,N为C的准线上一点,若△MNF为等边三角形,则△MNF的面积为　　　　　. 

7.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为　　　　. 

综合提升组

8.(2022安徽合肥二模)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线C的准线l于M,N两点,|MN|=2p,则直线AF的斜率为(　　)

A.±1 B.± C. D.±

9.从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5,2),被抛物线反射后,又射到抛物线C上的Q点,则Q点的坐标为(　　)

A.,- B.,-

C.,- D.,-

10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=2|BF|,则|AB|=(　　)

A.3 B.9 C. D.

11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　,直线AB的斜率为　　　　　. 

创新应用组

12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=              (　　)

A.4 B.8 C.16 D.

参考答案

课时规范练47　抛物线

1.B　因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.

2.C　设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.

3.B　抛物线的焦点坐标为,0,其到直线x-y+1=0的距离d=,解得p=2(p=-6舍去),故选B.

4.A　由题意,=4x2,=4x1,因为-2=4,所以4x2-8x1=4,即x2=1+2x1,.故选A.

5.C　如图,圆C:+y2=4的圆心C是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.

∵圆C:+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.

∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,

∴点A,N关于直线x=对称,即xN+xA=×2=p,∴xN=p,

∴|NA|=p-=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.

6.16　由题意知|MF|=|MN|,则MN与准线垂直,又△MNF为等边三角形,所以NF与准线所成的锐角为30°,所以|NF|=8,所以△MNF的面积为×82=16.

7.　设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义及|AF|+|BF|=5,可得x1++x2+=5,解得x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为.

8.D　设准线与x轴交于点H,∵|MN|=2p,∴|MH|=p,且|FH|=p,∴|FA|=|FM|==2p.设A(x0,y0),由抛物线定义可知|FA|=x0+,

∴x0=,代入抛物线方程中得y0=±p,得A,±p,且F,0.∴直线AF的斜率为±.

9.D　设光线被抛物线反射的反射点为B,则AB∥x轴,把y=2代入y2=x,得x=4,∴B(4,2),设抛物线y2=x的焦点为F,则F,0,∴直线BF的方程为y=x-,即y=x-,又y2=x,解得x=4,y=2或x=,y=-,∴Q,-.故选D.

10.D　(方法1)抛物线的焦点坐标为F(1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

显然Δ=16k2+16>0恒成立,则x1x2=1, ①

因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得x1+1=2(x2+1),

即x1=2x2+1, ②

由①②解得x1=2,x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2++2=.故选D.

(方法2)因为|AF|=2|BF|,由结论|AF|=,|BF|=,得=2,

所以2-2cos θ=1+cos θ,即cos θ=,所以sin2θ=,|AB|=.

11.4　2　设不妨设A在第一象限,过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.

根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.

根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.

设A(x1,y1),B(x2,y2),由=4x1,=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为k==2.

12.C　设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因为=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB=,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.不妨设此时直线AD的方程为y=x+1,由消去y,得x2-4x-4=0,所以x1+x3=4,所以y1+y3=(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.