2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练23 余弦定理、正弦定理及应用举例

课时规范练23　余弦定理、正弦定理及应用举例

基础巩固组

1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sin A=,则sin B的值为(　　)

A. B. C. D.

2.在△ABC中,BC=,AC=3,cos A=,则△ABC的面积为(　　)

A.4 B.2 C.4 D.

3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S△ABC=,则C=(　　)

A. B. C. D.

4.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30°,a=,若这个三角形有两解,则b的取值范围是(　　)

A.<b≤2

B.<b<2

C.b<2

D.b≤2

5.(2023江西新八校联考)在△ABC中,b=3,c=2,B=45°,则此三角形解的情况为(　　)

A.无解 

B.两解

C.一解 

D.解的个数不能确定

6.(2022北京石景山一模)在△ABC中,sin2A=sin Bsin C,若A=,则B的大小是(　　)

A. B. C. D.

7.(2022浙江,11)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S=　　　　　. 

8.设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,.若a=1,c=,则C=　　　　,△ABC的面积S=　　　　　. 

9.(2022浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cos C=.

(1)求sin A的值;

(2)若b=11,求△ABC的面积.

10.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cos2+A+cos A=5.

(1)求A;

(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.

综合提升组

11.(2022河南开封一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,B=45°,a=2,则△ABC的面积为(　　)

A.2 B.3 C.1+ D.3+

12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=　　　　　. 

13.拿破仑定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个正三角形,则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置,合理组织人流、物流,使城市土地的利用率、建筑的使用效率达到最佳,因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图,设△ABC代表旧城区,新的城市发展中心O1,O2,O3分别为正三角形ACD,正三角形BCF,正三角形ABE的中心.现已知AB=2,∠ACB=30°,三角形O1O2O3的面积为,则三角形ABC的面积为　　　　. 

14.在①bsin B+csin C=bsin C+asin A;②cos2C+sin Bsin C=sin2B+cos2A;③2b=2acos C+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC外接圆的半径R为1,且　　　　　　. 

(1)求角A;

(2)若AC=,AD是△ABC的内角平分线,求AD的长度.

创新应用组

15.(2022四川成都二模)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,则cos A的最小值为(　　)

A. B. C. D.

16.(2022全国甲,理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　. 

参考答案

课时规范练23　余弦定理、

正弦定理及应用举例

1.A　由正弦定理可知,即,所以sin B=.

2.A　因为BC=,AC=3,cos A=,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4.又因为cos A=,A∈(0,π),所以sin A=,所以S△ABC=AB·AC·sin A=×4×3×=4.

3.C　由S△ABC=absin C,得absin C,整理得c2=a2+b2+2absin C,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,所以sin C=-cos C,即tan C=-1.又C∈(0,π),所以C=.

4.B　当△ABC有两解时,bsin A<a<b,即bsin 30°<<b,解得<b<2.

5.C　∵B是锐角,且c<b,∴C<B,∴C为锐角,满足条件的△ABC只有一个.故选C.

6.C　∵sin2A=sin Bsin C,∴由正弦定理得a2=bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,得b=c,∴△ABC是等边三角形,B=.故选C.

7.　由题意得

S=.

8.　因为,

整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=,

因为C为三角形内角,所以C=.

由a2+b2-c2=ab且a=1,c=得b2-b-6=0,

解得b=3或b=-2(舍去),

所以△ABC的面积S=absin C=×1×3×.

9.解(1)∵cos C=且0<C<π,

∴sin C=.

又∵4a=c,∴.

由正弦定理得,

∴,

∴sin A=×sin C=.

(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcos C,

c2=112+c2-2×c×11×,c2=112+c2-c,

即c2+c-112=0,

整理得5c2+24c-880=0,

解得c==4(负值舍去),

∴a=×4=5.

∴S△ABC=absin C=×5×11×=22.

10.解(1)由题意得6sin2A+cos A=5,

整理得6cos2A-cos A-1=0,解得cos A=或cos A=-.

又A∈0,,所以cos A=,

即A=.

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-bc,

即b2+c2=4+bc.

由正弦定理,得,

即b=sin B,c=sin C,而C=-B,

bc=sin Bsin C

=sin Bsin-B

=sin Bcos B+sin2B

=sin 2B-cos 2B+

=sin2B-+.

又解得<B<,所以<2B-π,

所以sin2B-∈,1,

即bc∈,4,所以b2+c2=4+bc∈,8.

11.D　∵A=60°,B=45°,a=2,∴由正弦定理,可得b==2,∴△ABC的面积S=absin C=×2×2×sin(180°-60°-45°)=2×sin(60°+45°)=2×=3+.故选D.

12.　因为∠ABC的平分线交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=45°,

所以S△ABC=acsin 90°=c·BD·sin 45°+a·BD·sin 45°,

可得2ac=c·BD+a·BD,可得=1,所以a+4c=·BD,

所以a+4c=BD+5+≥BD5+2=BD=9,

当且仅当a=2c=3时,等号成立,

所以BD=.

13.　如图所示,

连接CO1,CO2,由题意得CO1=AC,CO2=BC,

∠O2CB=30°,∠O1CA=30°.

因为∠ACB=30°,所以∠O1CO2=90°,O1,解得O1O2=2.

由勾股定理,得C+C=O1,即AC2+BC2=O1,即AC2+BC2=12.

由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 30°,解得AC·BC=,

所以三角形ABC的面积为AC·BCsin 30°=.

14.解(1)方案一:选择①,bsin B+csin C=bsin C+asin A,由正弦定理,得b2+c2=bsin C+aa,即b2+c2-a2=absin C,

由余弦定理,得2bccos A=absin C,

所以sin Ccos A=sin Asin C.

因为C∈(0,π),所以sin C>0,所以tan A=.

又因为A∈(0,π),所以A=.

方案二:选择②,cos2C+sin Bsin C=sin2B+cos2A得1-sin2C+sin Bsin C=sin2B+1-sin2A,即sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,

由正弦定理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=,

因为A∈(0,π),所以A=.

方案三:选择③,由2b=2acos C+c,结合正弦定理,得2sin B=2sin Acos C+sin C.

因为A+B+C=π,所以sin B=sin(A+C),

即2sin(A+C)=2sin Acos C+sin C,所以2cos Asin C=sin C.

因为C∈(0,π),所以sin C>0,所以cos A=.

因为A∈(0,π),所以A=.

(2)在△ABC中,由正弦定理,得=2R=2,

所以sin B=,所以B=因为A=,由三角形内角和定理,B不可能为.

在△ABC中,C=π-.

因为AD是△ABC的内角平分线,

所以∠CAD=,

所以∠ADC=π-,

所以AD=AC=.

15.C　由题意,得4a2-4a2sin2B+4b2sin2A=3b2-3.设△ABC外接圆的半径为R,则4a2-16R2sin2Asin2B+16R2sin2Bsin2A=3b2-3,即4a2=3b2-3,∴a2=(b2-1).∵c=1,∴cos A=≥2.当且仅当,即b=时,等号成立.故选C.

16.-1　

(方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,),B(-t,0),=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立.此时,-1.

(方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,-1.