备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第八章 §8.7 向量法求空间角

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第八章 §8.7 向量法求空间角，共18页。试卷主要包含了异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3．二面角
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )
(3)两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( √ )
(4)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ.( × )
教材改编题
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 A
解析 由于cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.
2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以cs〈s1，s2〉＝eq \f(s1·s2,|s1||s2|)＝eq \f(－1－2,\r(2)×3)＝－eq \f(\r(2),2).
所以直线l1和l2所成角的余弦值为eq \f(\r(2),2).
3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β所成锐二面角的正切值为( )
A.eq \f(4,9) B.eq \f(9,4) C.eq \f(4\r(65),65) D.eq \f(\r(65),4)
答案 D
解析 设平面α与平面β所成锐二面角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0