备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 §11.2 随机抽样、统计图表

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 §11.2 随机抽样、统计图表，共16页。试卷主要包含了1%>90%，①错误；，4%＋16，8%等内容，欢迎下载使用。

§11.2　随机抽样、统计图表
考试要求　1.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解系统抽样和分层抽样.2.理解统计图表的含义．

知识梳理
1．随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
2．用样本的频率分布估计总体分布
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积的总和等于1.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
(3)茎叶图
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
常用结论
1．简单随机抽样和分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样．
2．利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等．
3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关．(　×　)
(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．(　√　)
(3)在分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数有关．(　×　)
(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　√　)
教材改编题
1．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本指的是1 000名学生的数学成绩
C．样本容量指的是1 000名学生
D．个体指的是1 000名学生中的每一名学生
答案　B
解析　对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；
对于B，样本指的是1 000名学生的数学成绩，故B正确；
对于C，样本容量是1 000，故C错误；
对于D，个体指的是每名学生的数学成绩，故D错误．
2．为迎接杭州亚运会，亚委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运会志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有(　　)
A．12人 B．18人
C．80人 D．120人
答案　D
解析　所抽取的30人中，男生12人，则女生有18人，女生占总人数的＝，所以这200名志愿者中女生人数为200×＝120.
3．已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆．

答案　80
解析　速度在(70,80]内的频率为1－(0.01×10＋0.03×10＋0.04×10)＝0.2，
所以速度在(70,80]内的频数为0.2×400＝80.
故这400辆汽车中在该路段超速的有80辆.


题型一　抽样方法
例1 (1)下面3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有32排座椅，每排40个座位，某次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查．分别适合采用的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样
B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样
C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样
D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样
答案　A
解析　①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；②总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，选32人刚好32排，每排选一人，宜用系统抽样；③总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样．
(2)某社区为迎接中秋节，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10∶13∶12，如果采用分层抽样方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为(　　)
A．20 B．22 C．24 D．26
答案　C
解析　由分层抽样的等比例关系，可得×70＝24.
思维升华 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．
(2)在分层抽样中，抽样比＝＝.
跟踪训练1 (1)质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1～120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号为84的商品，则下列编号没有被抽到的是(　　)
A．114 B．39
C．25 D．9
答案　C
解析　可得系统抽样的间隔为120÷8＝15，且84＝15×5＋9，
所以每件被抽取的商品编号为15n＋9，n＝0,1,2，…，7，
因为114＝15×7＋9,39＝15×2＋9,25＝15×1＋10,9＝15×0＋9，
所以编号为25的商品没有被抽到．
(2)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”设计造型可爱，市场供不应求，某厂的三个车间在一个小时内共生产450个冰墩墩，在出厂前要检查这批冰墩墩的质量，决定采用分层抽样方法进行抽取，若从一、二、三车间中抽取的冰墩墩数量分别为a，b，c且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的冰墩墩的数量为(　　)
A．200 B．300 C．120 D．150
答案　D
解析　由题意可得a＋c＝2b，则第二车间生产的冰墩墩数量为×450＝×450＝150.

题型二　统计图表
例2 (1)新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．


根据所给统计图，下列结论中正确的有(　　)
①每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%；
②每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%；
③月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%；
④月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%.
A．①② B．②③
C．①③④ D．①②④
答案　B
解析　每周都消费新式茶饮的消费者占比1－9.1%>90%，①错误；
每天都消费新式茶饮的消费者占比5.4%＋16.4%>20%，②正确；
月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比30.5%＋25.6%>50%，③正确；
月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比1－14.5%－30.5%<60%，④错误．
(2)某社区安置了15个核酸检测点，每个检测点每天检测的人数都是随机的，不受位置等因素影响，如图是由某天检测人数绘制的茎叶图，则某个检测点某天检测人数达145及以上的可能性大致为(　　)

A．47% B．53%
C．33% D．67%
答案　D
解析　由茎叶图知，检测点数据从小到大依次为130,132,134,136,140,145,145,145,
146,148,148,152,153,153,154，
所以检测人数达145及以上的有10个检测点，即＝≈67%.
思维升华 统计图表的主要应用
扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
折线图：描述数据随时间的变化趋势；
条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；
茎叶图：清晰显示数据的分布情况．
跟踪训练2 (1)已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是(　　)

A．全国农产品夏季价格比冬季低
B．全国农产品批发价格200指数2022年每个月逐渐增加
C．2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致
D．2022年6月农产品批发价格200指数大于126
答案　C
解析　图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错误；全国农产品批发价格200指数2022年4～6月呈下降趋势，并未增加，故B错误；根据图中曲线的变化趋势可发现2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致，故C正确；2022年6月农产品批发价格200指数在115附近，故D错误．
(2)某保险公司推出了5个险种，甲：一年期短险；乙：两全保险；丙：理财类保险；丁：定期寿险；戊：重大疾病保险．现对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图．


用样本估计总体，下列说法错误的是(　　)
A．30～41周岁的参保人数最多
B．随着年龄的增长，人均参保费用越来越高
C．54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8%
D．定期寿险最受参保人青睐
答案　C
解析　由扇形图可知，30～41周岁的参保人数最多，故选项A正确；
由折线图可知，随着年龄的增长，人均参保费用越来越高，故选项B正确；
由扇形图可知，54周岁以下的参保人数约占总参保人数的92%，故选项C错误；
由条形图可知，丁险种即定期寿险参保比例最高，故选项D正确．

题型三　频率分布直方图
例3 下面是北方某城市2022年1～2月的日平均气温(单位：℃)的记录数据：
－3　2　 －4　－7　－11　－1　7　 8　 9　－6
－14 －18 －15 －9 －6 －1 0 5 －4 －9
－6 －8 －12 －16 －19 －15 －22 －25 －24 －19
－8 －6 －15 －11 －12 －19 －25 －24 －18 －17
－14 －22 －13 －9 －6 0 －1 5 －4 －9
－3 2 －4 －4 －1 7 5 －6 －5
(1)将数据适当分组，并画出相应的频率分布直方图；
(2)试估计该城市2022年1～2月的日平均气温在0℃以下的天数所占的百分比．
解　(1)经过统计可得频率分布表如下．
分组
频数
频率

[－25，－20)
6

0.020
[－20，－15)
7

0.024
[－15，－10)
10

0.034
[－10，－5)
13

0.044
[－5,0)
12

0.041
[0,5)
4

0.013
[5,10]
7

0.024
合计
59
1
0.2

频率分布直方图如图所示．

(2)该城市2022年1～2月的日平均气温在0℃以下的天数为48,2022年1～2月共有59天，
所以该城市2022年1～2月的日平均气温在0℃以下的天数所占的百分比为×100%≈81%.
思维升华 频率分布直方图的相关结论
(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)频率分布直方图中纵轴表示，每组样本的频率为组距×，即小长方形的面积．
(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．
跟踪训练3 某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：

(1)求分数在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要考多少分？
解　(1)设分数在[70,80)内的频率为x，
根据频率分布直方图，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，
解得x＝0.25，所以分数在[70,80)内的频率为0.25，
补全这个频率分布直方图，如图所示．

(2)因为分数在区间[80,90)内的频率为0.25，在区间[90,100]内的频率为0.05，
而0.05<10%<0.25＋0.05，
所以设排名前10%的分界点为(90－a)分，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，
所以排名前10%的分界点约为88分，则估计获奖的学生至少需要考88分．
课时精练

1．下列情况中，适合用普查的是(　　)
A．检查某人血液中的血脂含量
B．调查某地区的空气质量状况
C．乘客上飞机前的安检
D．调查某市市民对垃圾分类处理的意识
答案　C
解析　乘客上飞机前的安检适合用普查，只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全．
2．为调查学生的课外阅读情况，学校从高二年级四个班的182人中随机抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为(　　)
A．6,2 B．2,3 C．2,60 D．60,2
答案　A
解析　从182人中抽取30人，182除以30，商6余2，故抽样的间隔为6，需要随机剔除2人．
3．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00,01，…，38,39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件的编号是(　　)
0347　4373　8636　9647　3661　4698　6371　6233　2616　8045　6011　1410
A．36 B．16 C．11 D．14
答案　C
解析　从题中所给的随机数表第一行第3列开始从左往右读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36,33,26,16,11.所以选出来的第5个零件的编号是11.
4．某学校调查了400名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，将样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据频率分布直方图，可得这400名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是(　　)

A．240 B．300 C．120 D．280
答案　C
解析　由频率分布直方图可知，自习时间不少于25小时的频率为(0.08＋0.04)×2.5＝0.3，故这400名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数为0.3×400＝120.
5.(2022·济南模拟)某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1 200棵，所占比例如图所示．高一、高二、高三年级报名参加植树活动的人数分别为600,400,200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得的侧柏的棵数为(　　)

A．34 B．46 C．50 D．70
答案　C
解析　由扇形图知，购买的1 200棵树苗中，侧柏的数量为1 200×25%＝300，
依题意，高一、高二、高三分得的侧柏的棵数之比为600∶400∶200＝3∶2∶1，
所以高三年级应分得的侧柏的棵数为×300＝50.
6．(2023·茂名模拟)某大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2022年该校毕业生中，有本科生2 971人，硕士生2 527人，博士生1 467人，毕业生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．如图，下列说法中正确的是(　　)

①博士生选择在北京就业的不到一半；
②毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业；
③到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多；
④到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案　B
解析　①中，博士生选择在北京就业的比例达到52.1%，超过一半，①不正确；
②中，留在北京就业的人数博士生超过一半，而本科生与硕士生则明显低于一半，所以显然总人数超半数选择在北京以外的单位就业，②正确；
③中，到四川省就业的硕士生人数为2 527×3.2%≈81，而到四川省就业的博士生人数为1 467×3.7%≈54，故硕士生更多，③正确；
④中，图表中显示4.2%＋5.6%＋3.0%＝12.8%，然而本科生、硕士生、博士生人数并不是一样多，④错误．
7．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为________．
答案　40
解析　设中间一个小长方形的面积为x，则其他8个小长方形的面积和为x，
根据频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，
得x＋x＝1，
则x＝，
即中间一组的频率为，
所以中间一组的频数为140×＝40.
8．(2023·石家庄模拟)已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了进一步跟踪调查对户型结构满意的户主的满意程度，用分层抽样的方法从中抽取了29位户主，则在对三居室满意的户主中抽取的人数为________．

答案　15
解析　因为对户型结构满意的户主人数为150×20%＋250×30%＋100×40%＝145，
对户型结构满意的三居室户主人数为250×30%＝75，所以在对三居室满意的户主中抽取的人数为×29＝15.
9．某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．该店财务部的数据报告表明，该手机店 1～4 月的手机销售总额是290万元．请根据图1、图2解答下列问题：

图1

图2
(1)该手机店3月份的销售额为多少万元？
(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元？
(3)小刚观察图2后，认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由．
解　(1)由已知及图1得，3月份手机销售额为290－(85＋80＋65)＝60(万元)．
(2)由图1及图2得，1月份音乐手机的销售额为85×23%＝19.55(万元)．
(3)不同意．由图1及图2知，3月份音乐手机的销售额为60×18%＝10.8(万元)，
4月份音乐手机的销售额为65×17%＝11.05(万元)，
11．05>10.8，所以4月份音乐手机的销售额比3月份音乐手机的销售额增加了，所以不同意小刚的看法．
10．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂某月生产的一批产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]七组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求图中x的值；
(2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98,100)内的产品数；
(3)记产品尺寸在[98,102)内的为优等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92,94)内的为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月可生产3 000件产品．以样本的频率代替总体的频率，若单月利润未能达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．
解　(1)由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，
解得x＝0.12.
(2)200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数为200×0.09×2＝36.
(3)由题意可得，这批产品中优等品有3 000×(0.18＋0.20)＝1 140(件)，
不合格品有3 000×0.04＝120(件)，
合格品有3 000－1 140－120＝1 740(件)，
1 140×5＋1 740×3－120×2＝10 680(元)．
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10 680元，
因为10 680<11 000，
所以需要对该工厂设备实施升级改造．

11．为了研究人们的生活健康情况，某市随机选取年龄在15～75岁之间的1 000人进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中＝，利用分层抽样的方法从年龄在[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]内的市民中共选取20名书写生活健康的报告，其中选取年龄在[35,45)内的市民人数为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．7
答案　D
解析　由已知及频率分布直方图得
解得a＝0.035，b＝0.015，
所以选取年龄在[35,45)内的市民人数为0.035×10×20＝7.
12．工业生产者出厂价格指数(PPI)反映了工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度．根据下面提供的我国2020年1月－2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是(　　)

A．2020年各月的PPI在逐月增大
B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平
C．2021年各月的PPI在逐月减小
D．2021年各月的PPI均高于2020年同期水平
答案　D
解析　由图可看出，选项A，C指的是“环比”， 2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月减小，故A，C错误；
选项B，D是指“同比”，由于2021年1～12月同比增长线均在0.0%的上方，
所以2021年各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正确；
而2020年同比增长线不均在0.0%的上方，所以2020年各月的PPI不均高于2019年同期水平，故B错误．

13．(2023·太原模拟)2022年举办的北京冬奥会促进了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场进一步增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次(单位：万人次)与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是(　　)

A．2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B．2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C．2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%
答案　C
解析　A项，由统计图可知，2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，所以A项正确；
B项，由统计图可知2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，所以B项正确；
C项，2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，2021年同比增长人数为1 970－1 750＝220,2016年同比增长人数为900－800＝100，显然不近似相等，所以C项不正确；
D项，2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率为×100%≈30.5%，所以D项正确．
14．某地各项事业取得令人瞩目的成就，以2022年为例，社会固定资产总投资约为3 730亿元，其中包括中央项目、省属项目、地(市)属项目、县(市)属项目和其他项目．图1、图2分别是这五个项目的投资额不完整的条形图和扇形图，请完成下列问题．


(1)地(市)属项目投资额为________亿元；
(2)在图2中，县(市)属项目部分所占百分比为m%，对应的圆心角为β，则m＝________，β＝________(m，β均取整数)．
答案　(1)830　(2)18　65°
解析　(1)因为该地社会固定资产总投资约为3 730亿元，所以地(市)属项目投资额为3 730－(200＋530＋670＋1 500)＝830(亿元)．
(2)由条形图可以看出县(市)属项目投资额为670亿元，所以县(市)属项目所占百分比为m%＝×100%≈18%，即m＝18，对应的圆心角为β≈360°×0.18≈65°.