备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 §4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

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知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(2)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( × )
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(4)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
教材改编题
1．若cs α＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tan α等于( )
A．－eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),4) C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 C
解析 由已知得，sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(1,9))＝－eq \f(2\r(2),3)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(2).
2．若sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),2)，则sin αcs α等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(\r(2),2) D．2
答案 B
解析 因为sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),2)，所以(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,2)，
即sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(1,2)，
即1＋2sin αcs α＝eq \f(1,2)，
所以sin αcs α＝－eq \f(1,4).
3．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·cs(2π－α)的结果为________．
答案 sin α
解析 原式＝eq \f(sin α,cs α)·cs α＝sin α.
题型一 同角三角函数基本关系
例1 (1)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，给出下列结论：
①θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))；
②cs θ＝－eq \f(4,5)；
③tan θ＝－eq \f(3,4)；
④sin θ－cs θ＝eq \f(7,5).
则结论正确的有( )
A．①② B．①③④
C．①④ D．②③
答案 C
解析 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，(ⅰ)
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，则2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故①正确；
因为(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(49,25)，
所以sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)，(ⅱ)
故④正确；
由(ⅰ)(ⅱ)联立可得，sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝－eq \f(3,5)，故②错误；
所以tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(4,3)，故③错误．
(2)已知cs α＝－eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝________.
答案 0
解析 ∵cs α＝－eq \f(5,13)<0且cs α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)＝eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq \f(12,5).
此时13sin α＋5tan α＝13×eq \f(12,13)＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)))＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)
＝－eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq \f(12,5)，
此时，13sin α＋5tan α＝13×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋5×eq \f(12,5)＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(3)已知tan α＝2，则eq \f(3sin α－2cs α,sin α＋cs α)＝________；eq \f(2,3)sin2α＋eq \f(1,4)cs2α＝________.
答案 eq \f(4,3) eq \f(7,12)
解析 因为tan α＝2，
所以eq \f(3sin α－2cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(3tan α－2,tan α＋1)＝eq \f(3×2－2,2＋1)＝eq \f(4,3).
eq \f(2,3)sin2α＋eq \f(1,4)cs2α＝eq \f(2,3)·eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＋eq \f(1,4)·eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(2,3)·eq \f(tan2α,tan2α＋1)＋eq \f(1,4)·eq \f(1,tan2α＋1)
＝eq \f(2,3)×eq \f(22,22＋1)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,22＋1)＝eq \f(7,12).
思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
跟踪训练1 (1)(2023·海南模拟)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α等于( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C．－3 D．3
答案 A
解析 由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，
可得tan α＝2，
则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝cs2α＋sin αcs α
＝eq \f(cs2α＋sin αcs α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1＋tan α,1＋tan2α)＝eq \f(3,5).
(2)若θ为△ABC的一个内角，且sin θ·cs θ＝－eq \f(1,8)，则sin θ－cs θ等于( )
A．±eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 D
解析 θ∈(0，π)，因为sin θ·cs θ＝－eq \f(1,8)<0，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以sin θ>0，cs θ<0，所以sin θ－cs θ>0.
又(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，
所以sin θ－cs θ＝eq \f(\r(5),2).
题型二 诱导公式
例2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin eq \f(π－x,2)＝－cs eq \f(x,2)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋3x))＝sin 3x
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x
答案 D
解析 sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，
sin eq \f(π－x,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(x,2)))＝cs eq \f(x,2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋3x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋3x))＝－sin 3x，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x.
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝eq \f(1,3)，且0答案 eq \f(4\r(2),3)
解析 ∵0∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝eq \r(1－sin 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x)))＝eq \f(2\r(2),3).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝eq \f(2\r(2),3)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝－eq \f(2\r(2),3).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))＝eq \f(4\r(2),3).
思维升华 诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
跟踪训练2 (1)若eq \f(sin3π－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋cs－π＋α)＝eq \f(1,3)，则tan α等于( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 因为eq \f(sin3π－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋cs－π＋α)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(sin α－cs α,－sin α－cs α)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(tan α－1,－tan α－1)＝eq \f(1,3)，解得tan α＝eq \f(1,2).
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
答案 C
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(4,5)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(4,5).
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2023·青海模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(2),5) B.eq \f(3\r(5),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0，))
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝eq \f(9,10)，又α为锐角，∴sin α>0，则sin α＝eq \f(3\r(10),10).
(2)已知－π答案 －eq \f(24,175)
解析 由已知得，sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
两边平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
因为(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25)，
由－π又2sin xcs x＝－eq \f(24,25)<0，
所以cs x>0，所以sin x－cs x<0，
故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
所以eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin xcs x＋sin x,1－\f(sin x,cs x))
＝eq \f(2sin xcs xcs x＋sin x,cs x－sin x)
＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
跟踪训练3 (1)(2023·衡水模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋cs(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcs α等于( )
A.eq \f(21,10) B.eq \f(3,2) C.eq \f(\r(3),2) D．2
答案 D
解析 由诱导公式可得，sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋cs(π－α)＝－2cs α，所以tan α＝－2.
因此，2sin2α－sin αcs α＝eq \f(2sin2α－sin αcs α,sin 2α＋cs2α)
＝eq \f(2tan2α－tan α,tan2α＋1)＝eq \f(10,5)＝2.
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2π,3)))＝eq \f(2,3)，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝________，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝________.
答案 －eq \f(2,3) －eq \f(4\r(5),9)
解析 方法一 令t＝α－eq \f(2π,3)，
所以sin t＝eq \f(2,3)，
α＝t＋eq \f(2π,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(2π,3)－\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,2)))＝－sin t＝－eq \f(2,3).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以α－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(5),3)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－eq \f(4\r(5),9).
方法二 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2π,3)))＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2π,3)))＝－eq \f(2,3).
以下同方法一．
课时精练
1．sin 1 620°等于( )
A．0 B.eq \f(1,2)
C．1 D．－1
答案 A
解析 由诱导公式，sin 1 620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin 180°＝0.
2．(2023·济南模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(\r(3),2)，则tan α等于( )
A．－eq \r(3) B.eq \r(3) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
答案 A
解析 由已知条件得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝eq \f(\r(3),2)，
即sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(3,4))＝eq \f(1,2)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq \r(3).
3．若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，则sin2α－sin αcs α－3cs2α等于( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(3,10) C.eq \f(9,10) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)可知，cs α≠0，∴eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(1,2)，∴tan α＝－3，
∴sin2α－sin αcs α－3cs2α＝eq \f(sin2α－sin αcs α－3cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－tan α－3,1＋tan2α)＝eq \f(9＋3－3,1＋9)＝eq \f(9,10).
4．已知sin α－cs α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin α,1－tan α)的值为( )
A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,16) D.eq \f(3,16)
答案 A
解析 由sin α－cs α＝eq \f(1,2)，
所以1－2sin αcs α＝eq \f(1,4)，
所以sin αcs α＝eq \f(3,8)，
所以eq \f(sin α,1－tan α)＝eq \f(sin α,1－\f(sin α,cs α))＝eq \f(sin αcs α,cs α－sin α)＝－eq \f(3,4).
5．在△ABC中，下列结论不正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
答案 D
解析 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；
sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cs eq \f(A,2)，B正确；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))，C正确；
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D不正确.
6．已知eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)))＝－3，则sin 2α等于( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．1 D.eq \f(3,5)
答案 A
解析 由eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)))＝－3，
得eq \f(－cs α＋2sin α,cs α－sin α)＝－3，
所以tan α＝2，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(4,5).
7．已知sin θ＝eq \f(1,3)，则eq \f(tan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝________.
答案 eq \f(9,8)
解析 原式＝eq \f(－tan θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(1,cs2θ)＝eq \f(1,1－sin2θ)＝eq \f(1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(9,8).
8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))的值为________．
答案 0
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝0.
9．(2023·赤峰模拟)(1)若α是第二象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(1,3)，求tan α的值；
(2)已知f(α)＝eq \f(sin3π－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),csπ－αsin－π－α)，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．
解 (1)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(1,3)，∴sin α＝eq \f(1,3)，又α是第二象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(2),3)，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(\r(2),4).
(2)f(α)＝eq \f(sin3π－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),csπ－αsin－π－α)＝eq \f(sin αcs α－cs α,－cs αsin α)＝cs α，由(1)知，cs α＝－eq \f(2\r(2),3)，
则f(α)＝cs α＝－eq \f(2\r(2),3).
10．已知角θ 的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y)).
(1)求tan θ的值；
(2)求eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)的值．
解 (1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋y2＝1，y<0，
解得y＝－eq \f(\r(3),2)，
所以tan θ＝eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq \r(3).
(2)因为tan θ＝－eq \r(3)，
所以eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(－\r(3)＋1,－\r(3)－1)＝2－eq \r(3).
11．已知角α满足sin α·cs α≠0，则表达式eq \f(sinα＋kπ,sin α)＋eq \f(csα＋kπ,cs α)(k∈Z)的取值为( )
A．－2 B．－1 C．2或－2 D．1或－1
答案 C
解析 当k为奇数时，原式＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝1＋1＝2.
所以原表达式的取值为－2或2.
12．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即a＝123，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(123π,2)＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
13．sin eq \f(4π,3)·cs eq \f(5π,6)·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))的值是________．
答案 －eq \f(3\r(3),4)
解析 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π－\f(π,3)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin \f(π,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,6)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan \f(π,3)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×(－eq \r(3))＝－eq \f(3\r(3),4).
14．已知sin(3π＋θ)＝eq \f(1,3)，则eq \f(csπ＋θ,cs θ[csπ－θ－1])＋eq \f(csθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))csθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝________.
答案 18
解析 由sin(3π＋θ)＝eq \f(1,3)，可得sin θ＝－eq \f(1,3)，
∴eq \f(csπ＋θ,cs θ[csπ－θ－1])＋
eq \f(csθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))csθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))
＝eq \f(－cs θ,cs θ－cs θ－1)＋eq \f(cs θ,－cs2θ＋cs θ)
＝eq \f(1,1＋cs θ)＋eq \f(1,1－cs θ)＝eq \f(2,1＋cs θ1－cs θ)
＝eq \f(2,1－cs2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝18.
15．已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－eq \f(1,4)，则下列角β中，可能与角α广义互余的为( )
A．sin β＝eq \f(1,4) B．cs(π＋β)＝eq \f(1,4)
C．tan β＝eq \r(15) D．tan β＝eq \f(\r(15),5)
答案 C
解析 若α与β广义互余，则α＋β＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即β＝eq \f(π,2)＋2kπ－α(k∈Z)．
又由sin(π＋α)＝－eq \f(1,4)，可得sin α＝eq \f(1,4).
若α与β广义互余，则sin β＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ－α))＝cs α＝±eq \r(1－sin2α)＝±eq \f(\r(15),4)，故A错误；
若α与β广义互余，则cs β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ－α))＝sin α＝eq \f(1,4)，而由cs(π＋β)＝eq \f(1,4)，可得cs β＝－eq \f(1,4)，故B错误；
由A，B可知sin β＝±eq \f(\r(15),4)，cs β＝eq \f(1,4)，所以tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝±eq \r(15)，故C正确，D错误．
16．(2023·上海模拟)在角θ1，θ2，θ3，…，θ29的终边上分别有一点P1，P2，P3，…，P29，如果点Pk的坐标为(sin(15°－k°)，sin(75°＋k°))，1≤k≤29，k∈N，则cs θ1＋cs θ2＋cs θ3＋…＋cs θ29＝________.
答案 0
解析 ∵sin(75°＋k°)＝sin(90°－(15°－k°))＝cs(15°－k°)，
∴Pk(sin(15°－k°)，cs(15°－k°))，
∴cs θk＝eq \f(sin15°－k°,\r(sin215°－k°＋cs215°－k°))＝sin(15°－k°)，
∴cs θ1＋cs θ2＋cs θ3＋…＋cs θ29＝sin 14°＋sin 13°＋sin 12°＋…＋sin(－14°)，
又sin(15°－k°)＋sin(k°－15°)＝sin(15°－k°)－sin(15°－k°)＝0，
∴cs θ1＋cs θ2＋cs θ3＋…＋cs θ29＝sin 0°＝0.公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限