备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 §12.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 §12.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差，共18页。试卷主要包含了离散型随机变量的均值与方差，8时，实数a的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

§12.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．

知识梳理
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p

其中0 其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．其分布列为
X
0
1
…
m
P


…


4.离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，
D(X)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7

则它服从两点分布．(　×　)
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(　√　)
教材改编题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　)
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案　D
解析　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P




设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B．4 C．－1 D．1
答案　A
解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P



则X的方差D(X)＝________.
答案　
解析　由＋＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴X的分布列为

X
0
1
P



∴E(X)＝0×＋1×＝，
则D(X)＝2×＋2×＝.

题型一　分布列的性质
例1 (1)若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1

则当P(X A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X (2)(2022·银川模拟)若随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
a

c

则P(|X|＝1)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由随机变量X的分布列得
P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)
＝a＋c＝1－＝.
思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P

2－3q
q2

则q的值为(　　)
A．1 B.±
C.－ D.＋
答案　C
解析　由分布列的性质知
解得q＝－.
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________； P(X≥2)＝________.
答案　　
解析　由已知得随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P




∴＋＋＝1，∴k＝.
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P




∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.


题型二　离散型随机变量的均值、方差
例2 (1)已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P

m
3m

下列选项不正确的是(　　)
A．m＝ B．E(X)＝
C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝
答案　C
解析　由分布列的性质得，＋4m＝1，解得m＝，故A正确；
E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，故B正确；
E(2X－1)＝2E(X)－1＝－，故C不正确；
D(X)＝×2＋×2＋×2＝，故D正确．
(2)(2023·成都模拟)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则下列命题中正确的是(　　)
①E(X)＝E(Y)；②E(X)≠E(Y)；
③D(X)＝D(Y)；④D(X)≠D(Y)．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案　D
解析　由题意得，随机变量X的所有可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，
则P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝，
D(Y)＝2×＋2×＋2×＝，
故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．
思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
跟踪训练2 (1)(2022·怀化模拟)已知ξ的分布列如表所示．
ξ
0
1
2
P
？
！
？

其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.
①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；
②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确；
③P(ξ＝0)＝a＝≤，因此③正确．
(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.
答案　
解析　由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，
P(ξ＝5)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
则E(ξ)＝5×＋4×＋3×＋2×＝，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.

题型三　超几何分布
例3 2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；
(2)从得分在[60,90]的学生中利用分层抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值．
解　(1)每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2.
故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C×0.4×0.2＝.
(2)由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，
所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P




故E(X)＝＝.
思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
跟踪训练3 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．
某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量/度
1 000
1 260
1 400
1 824
2 180
2 423
2 815
3 325
4 411
4 600

(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；
(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．
解　(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，
第三档电价比第一档电价每度多0.3元，
编号为10的用户一年的用电量是4 600度，
所以该户该年应交电费4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯的户数为X，
易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






课时精练

1．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于(　　)
X
0
1
2
P
0.2
a
0.5

A.0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
答案　D
解析　依分布列的性质可得0.2＋a＋0.5＝1，解得a＝0.3，
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3.
2．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　D
解析　ξ的所有可能取值为0,1,2，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
3．随机变量X的所有可能的取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
由题意得，E(X)＝0×＋p＋2q＝1，且＋p＋q＝1，
解得p＝，q＝，
所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
4．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意得，比赛一局得分的均值为3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1，
又a，b，c∈[0,1)，故3a＋b≥2，
解得ab≤，
当且仅当3a＝b，即a＝，b＝时，等号成立．
故ab的最大值为.
5．(2023·包头模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的奖金/元
100
200
300

规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大(　　)
A．FDE B．FED C．DEF D．EDF
答案　C
解析　按照FDE的顺序获得的奖金的均值为
300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138(元)；
按照FED的顺序获得的奖金的均值为
300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132(元)；
按照DEF的顺序获得的奖金的均值为
100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196(元)；
按照EDF的顺序获得的奖金的均值为
200×0.5×0.2＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝176(元)，
综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大．
6．设0 ξ
0
m
1
P




当m在(0,1)上增大时，下列命题中正确的是(　　)
①E(ξ)减小；
②E(ξ)增大；
③D(ξ)先增后减，最大值为；
④D(ξ)先减后增，最小值为.
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案　D
解析　由题意得，＋＋＝1，解得a＝1，
E(ξ)＝0×＋m×＋1×＝＋，
所以当m在(0,1)上增大时，E(ξ)增大，故①错误，②正确；
D(ξ)＝
＝
＝2＋，
所以当m在(0,1)上增大时，D(ξ)先减小后增大，
当m＝时，D(ξ)取得最小值，故③错误，④正确．
7．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．
ξ
－2
0
2
P
a
b


若随机变量ξ的均值E(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________.
答案　11
解析　由表中数据得，E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×＝，
解得a＝，
又a＋b＋＝1，
所以b＝，
所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，
所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.
8．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________．
答案　
解析　设此人答对题目的个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
则合格的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝.
9．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、均值及方差．
解　(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80；
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝n∈N.
(2)X的所有可能取值为60,70,80，
并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，
P(X＝80)＝0.7.
则X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7

故E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
10．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
解　(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝C2×＋3＝.
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
所以甲闯关成功的概率为＋＝，因为<，所以甲闯关成功的可能性更大．

11．(2022·永州模拟)已知 X
0
1
2
P
p－p2
1－p
p2

给出下列命题：
①P(X＝2)的值最大；
②P(X＝0) ③E(X)随着p的增大而减小；
④E(X)随着p的增大而增大．
其中正确的是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
答案　D
解析　当p＝时，P(X＝2)＝，
P(X＝1)＝1－＝>，①错误；
因为 即P(X＝0) E(X)＝1－p＋2p2＝22＋，
因为 12．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆环B中得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，.甲、乙所得分数相同的概率为________；若甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的均值为________．

答案　　
解析　由题意知，甲得0分的概率为1－－－＝，
乙得0分的概率为1－－－＝，
则甲、乙所得分数相同的概率为×＋×＋×＋×＝.
因为甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，
则P(X＝0)＝×＝；
P(X＝1)＝×＋×＝；
P(X＝2)＝×＋×＋×＝；
P(X＝3)＝×＋×＋×＋×＝；
P(X＝4)＝×＋×＋×＝；
P(X＝5)＝×＋×＝；
P(X＝6)＝×＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.

13．为排查某种病毒，现有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为(k＋1)次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0 ①0.1；②0.2；③0.4；④0.5.
A．①② B．①④
C．②③ D．②④
答案　A
解析　设混合检测方式中样本需要检测的总次数为Y，则Y的所有可能取值为1,11，
P(Y＝1)＝(1－p)10，P(Y＝11)＝1－(1－p)10，
E(Y)＝1×(1－p)10＋11×[1－(1－p)10]
＝11－10×(1－p)10，
设逐份检测中样本需要检测的总次数为X，则E(X)＝10，
若混合检测方式优于逐份检测方式，需E(Y)10－0.1，
∵lg 0.794≈－0.1，
∴1－p>10lg 0.794≈0.794，
∴0 14．某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈，发球次数为X，则P(X＝3)的最大值为________；若E(X)<，则p的取值范围是________．
答案　 　
解析　由题意，得X的所有可能取值为1,2,3,4，
所以P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p，P(X＝4)＝(1－p)3，
令f(x)＝(1－x)2x＝x3－2x2＋x，x∈，
则f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
当0，当 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)max＝f ＝2×＝，
即P(X＝3)max＝.
又E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2p＋4(1－p)3<，
即－p3＋4p2－6p＋<0，
令h(x)＝－x3＋4x2－6x＋，x∈，
则h′(x)＝－3x2＋8x－6＝－32－<0，
所以h(x)在上单调递减，
又h＝0，
所以当x∈时，h(x)<0，
所以当p∈时，E(X)<.