备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 §12.2 古典概型与几何概型

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 §12.2 古典概型与几何概型，共15页。试卷主要包含了理解古典概型及其概率计算公式，几何概型，429>2，5，，635等内容，欢迎下载使用。

§12.2　古典概型与几何概型
考试要求　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义．

知识梳理
1．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称
不同点
相同点
频率计算公式
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值
古典概型的概率计算公式
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化

2.几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(3)计算公式：P(A)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　√　)
(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.(　√　)
(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)
(4)两个互斥事件的概率和为1.(　×　)
教材改编题
1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点表示的数小于1的概率为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　区间[0,3]的长度为3，而对应的数小于1的区间为[0,1)，长度为1，故所求概率为.
3．现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为________．
答案　
解析　基本事件共有3×2×2＝12(个)，其中符合条件的基本事件有2＋2×2＝6(个)，故A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为.


题型一　古典概型
例1 (1)(2023·银川模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24种情况，
其中奇数共有18个，故所求概率P＝＝.
(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意得，基本事件总数n＝A＝120，“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m＝AA＋AAA＝36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝＝＝.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤

跟踪训练1 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.
(2)(2022·成都质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
答案　
解析　依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有n＝CA＝36(种)安排方法，
志愿者甲被分配到北京赛场有m＝A＋CA＝12(种)安排方法，
所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率P＝＝.

题型二　古典概型与统计的综合问题
例2 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关？

满意
不满意
总计
男生



女生



总计


120

(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

解　(1)2×2列联表如表所示.

满意
不满意
总计
男生
40
20
60
女生
30
30
60
总计
70
50
120
根据列联表中数据，
经计算得K2＝≈3.429>2.706，
所以有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关．
(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70名，从中抽取7名，其中
“男生满意”的有40×＝4(名)，
“女生满意”的有30×＝3(名)，
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为.
思维升华 求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定基本事件个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练2 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．

(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
解　(1)根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100]这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成绩在[80,90)这一组的频率为×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.
(2)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；
成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.
(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成绩在[90,100]内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝.

题型三　几何概型
例3 (1)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意可得，设△ABC的边长为2，则△ABC的面积S△ABC＝×22＝，曲边三角形的面积S曲＝S扇形CAB＋2S拱＝××22＋2＝π×3－2××22＝2π－2，
所以所求概率为＝＝.
(2)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，
所以圆心到直线的距离d＝<1，
解得－ 所以相交的概率P＝＝.
思维升华 (1)求解几何概型概率的步骤

(2)与体积有关的几何概型的解题策略
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
跟踪训练3　(1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于，即x＋y>，则

在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于”即x＋y>中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝＝.
(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根据题意，得PA⊥平面ABCD，PC的长等于阳马P－ABCD外接球的直径．
∵PC＝，
∴PA＝2.
∴VP－ABCD＝×1×2×2＝.
又V球＝π×3＝，
∴该点位于阳马内的概率P＝＝.
课时精练

1．在区间(0,6)内任取一个实数m，不等式m2－4m＋3<0的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由m2－4m＋3<0可得1 2.《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，现从八卦图中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　从八卦中任取两卦，基本事件总数为n＝C＝28，这两卦的阳线数目相同的基本事件有6种，分别为(兑，巽)，(兑，离)，(巽，离)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，∴这两卦的阳线数目相同的概率为P＝＝.
3．香港特别行政区区徽，呈圆形，位于徽面内圆中央的动态紫荆花图案为白色，由五片花瓣组成，每片花瓣中均有一颗红色五角星及一条红色花蕊镶在其间，香港特别行政区区徽代表祖国，白色紫荆花代表香港，紫荆花红旗寓意香港是祖国不可分离的一部分，并将在祖国怀抱中兴旺发达．花蕊上的五星象征香港同胞热爱祖国，采用红、白不同颜色，象征“一国两制”．其中紫荆花外辅助圆直径为区徽直径的，现从区徽内任取一点，则该点取自紫荆花外辅助圆内的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　设区徽直径为d，则紫荆花外辅助圆直径为d，
所以区徽的面积为π2＝，
紫荆花外辅助圆的面积为π2＝，
根据几何概型的公式得该点取自紫荆花外辅助圆内的概率为＝.
4．将3个1和4个0随机排成一行，则3个1中任意2个1都不相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　先考虑总情况，7个位置选3个放1，有C种情况，再考虑任意2个1都不相邻的情况，将3个1插入4个0形成的5个空中，有C种情况，则概率为P＝＝.
5．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　从24个节气中选择4个节气，共有C种情况，
这4个节气中含有“立春”的情况有C种情况，
故这4个节气中含有“立春”的概率为＝.
6．某校对高一新生进行体能测试(满分100分)，高一(1)班有40名同学成绩恰在[60,90]内，绘成频率分布直方图(如图所示)，从[60,70)中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在[60,65)内的概率是(　　)

A. B.
C. D.
答案　B
解析　由频率分布直方图知[60,65)内有2人，不妨记为a，b；[65,70)内有4人，不妨记为1,2,3,4.从6人中任抽2人的基本事件为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{a,3}，{a,4}，{b,1}，{b,2}，{b,3}，{b,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共15个，事件“恰有一人的成绩在[60,65)内”的基本事件有8个，所以所求的概率为.
7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为10秒，绿灯的时间为50秒，当到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为________．
答案　
解析　由题意知试验发生包含的事件是总的时间长度，为40＋10＋50＝100(秒)，绿灯的时间为50秒，
所以当到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率P＝＝.
8.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为________．

答案　
解析　沿三等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，所以恰好抽到的是中心方块的概率是＝.
9．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．
解　(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.
则P(B)＝＝，P(C)＝＝.
由互斥事件的概率加法公式，得
P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，
故所求事件的概率为.
10．某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表如图．

B餐厅分数的频数分布表
分数区间
频数
[0,10)
2
[10,20)
3
[20,30)
5
[30,40)
15
[40,50)
40
[50,60]
35

(1)在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由；
(2)从对B餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；
(3)如果A餐厅把打分最低的10%和打分最高的10%人群称之为“口味独特”人群，反之为“正常口味”人群，请计算“正常口味”人群的打分范围．(近似到0.01)
解　(1)在抽样的100人中，对A餐厅评分低于30的人数为(0.003＋0.005＋0.012)×10×100＝20；
由B餐厅分数频数分布表知，对B餐厅评分低于30的人数为10，
所以如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，我会选择B家．
(2)从对B餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人有C 种选法，
2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的选法有C×C种，
所以2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率P＝＝.
(3)设打分最低的10%的范围为[0，x)，由题意得(0.003＋0.005)×10＋(x－20)×0.012＝0.1，
解得x≈21.67，
设打分最高的10%范围为[y,60)，
由题意得(60－y)×0.04＝0.1，
解得y＝57.5，
所以“正常口味”人群的打分范围为[21.67,57.50)．

11．某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动．现有A，B，C，D四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵每人只能等可能的选择参加五项活动中的一项活动，且可以参加相同的活动，
∴四名同学共有5×5×5×5＝54(种)选择，
恰有两人参加同一项活动的情况有CC种，剩下两名同学的选择有A种，
∴恰有两人参加同一项活动的概率为＝.
12．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　正方体的棱长为2，则其内切球的半径为1，
设正方体的体积为V，正方体的内切球的体积为V1，“牟合方盖”的体积为V2，
∴正方体的体积V＝23＝8，
∴正方体的内切球的体积V1＝π×13＝，
由题意得＝，
则“牟合方盖”的体积V2＝×＝，
∴在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率P＝＝＝.

13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝1，设点E是棱BB1上的动点，在该长方体体对角线CA1上随机取一点F，则D1F⊥CE成立的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则A1(2,0,1)，C(0,3,0)，D1(0,0,1)，
设E(2,3，a)(0≤a≤1)，F(x，y，z)，
且设＝λ(0≤λ≤1)．
从而有＝(x－2，y，z－1)，
＝(－2,3，－1)，＝(2,0，a)，
由＝λ，得
解得即F(2－2λ，3λ，1－λ)，
所以＝(2－2λ，3λ，－λ)，
由题意得·＝4－4λ－aλ＝0，
所以λ＝(0≤a≤1)，解得≤λ≤1，
而0≤λ≤1，
所以在该长方体体对角线CA1上随机取一点F，使D1F⊥CE成立的概率P＝＝.
14.如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式(3x－1)5的展开式的各项系数之和．现从0,1,2,3,4,5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．

答案　
解析　令x＝1代入(3x－1)5得25＝32，即二项式(3x－1)5的展开式的各项系数之和为32.
从0,1,2,3,4,5中任取两个不同的数字方法有C＝＝15(种)，
其中和为36－32＝4的有(0,4)，(1,3)，共两种，
所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为.