(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第3篇抛物线01（含解析）

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高考数学选填题专项测试01（抛物线） 第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（·广西柳州高级中学高三开学考试（文））若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【详解】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．2．（·湖南高三期末（理））已知抛物线的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且三点共线，则（    ）A．16 B．10 C．12 D．8【答案】C【解析】【分析】根据圆的几何性质，结合抛物线的定义，根据到准线的距离，求得.【详解】因为三点共线，所以为圆的直径，.由抛物线定义知，所以.因为到准线的距离为6，所以.3. （·河北高三期末（文））如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为，则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【解析】【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为时与抛物线的交点分别为.当宽度为时与抛物线的交点为.当水面经过抛物线的焦点时,宽度为，由抛物线性质可知,则抛物线方程为，则，当宽度为时,设代入抛物线方程可得,解得，所以直线与直线的距离为，即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过，故选:D【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.4.（·辽宁高三期末（理））抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，若，则（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】设过且斜率为1的直线方程为,与抛物线方程联立可得根与系数关系,再利用弦长公式,即可得出.【详解】设过且斜率为1的直线方程为,联立,化为,
设,则,,解得.故选:C.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式,属于中档题.5. （2019·天水市第一中学高三月考（理））设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值（   ）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】【分析】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，即可得出结论．【详解】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.故选D．【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. （·广东高三期末（理））直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（   ）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.（·江西高三期末（理））已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则的值为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】作图，根据抛物线上一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离，得到，再利用，得到，代入，求解即可.【详解】根据题意，如图，的焦点，准线：，过点作准线的垂线，并交准线于点，，由相似，，因为，所以，又，所以.故选：A【点睛】本题主要考查抛物线的定义，一般和抛物线相关的题，一定考虑抛物线上的点到到焦点的距离等于这一点到准线距离的转化，还考查数形结合和转化的思想，属于基础题.8．（·江西高三期末（文））已知点和抛物线，过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则直线斜率为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】由题可先求出焦点坐标为，可得直线的方程，直线与抛物线联立方程组得：，可得韦达定理，再根据结合韦达定理，计算出斜率.【详解】因为抛物线，焦点坐标为，则过焦点的直线的方程为：，设联立，消去得，所以，又因为，则得，即化简得，得： 代入，得： ，解得：.故选:D.【点睛】本题考查抛物线与直线的综合运用，涉及抛物线的焦点坐标，点斜式方程，联立方程组，向量垂直，结合韦达定理化简运算.9. （·内蒙古高三期末（理））设抛物线C:()焦点为F,点M在C上,且,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为(    )A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】根据抛物线:(),可得其焦点坐标为:,准线为,设,故点到准线的距离为:,根据抛物线定义可得:,画出图形,结合已知,即可求得答案.【详解】设以MF为直径的圆的圆心为，画出几何图形: 抛物线:()，其焦点坐标为:,准线为，设,故点到准线的距离为:根据抛物线定义可得:， 根据中点坐标公式可得:的中点为: 以MF为直径的圆过点,根据几何关系可得:， 代入，可得,即: 解得或的方程为:或，故选:A.【点睛】本题考查了求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．（·湖北高三月考（文））已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设直线为,与抛物线方程联立可得,即,利用斜率公式代入中即可求得,进而得出结论【详解】设直线为,联立,消去可得,设,,所以,因为,即,所以,所以,所以,所以直线一定过点,故选:C【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用11. （·福建高三期末（理））已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ）A．4 B．8 C．9 D．12【答案】C【解析】【分析】当直线的斜率不存在时，可得，从而可得，利用焦点弦公式求出；当直线的斜率存在时，设出直线方程：，将直线方程与抛物线方程联立，可得，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，则，整理可得，所以，所以，当且仅当时，取等号，故的最小值为9.故选：C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题.12. （·河南高三期末（理））已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线、与抛物线分别交于、和、两点，其中直线过点，，.若，则当取到最大值时，（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出的值，得出抛物线的方程为，设，，，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出，然后在中利用余弦定理可求出的最小值，由等号成立的条件可知为等边三角形，可设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出.【详解】依题意，可知，设，，，由抛物线定义可得.因为，即，所以.由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，故的最大值为，此时为等边三角形，不妨直线的方程为，联立，消去y得，故，，故.故选：B.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.第II卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13. （·上海高三）若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为________.【答案】2【解析】【分析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出的值．【详解】由抛物线方程得：焦点坐标，，，故答案为：2．【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．14.（·吉林高三期末（理））抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为______.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．15. （·湖南高三月考（文））过抛物线C:上的一点M(非顶点)作C的切线与x轴､y轴分别交于A､B两点，则______.【答案】【解析】【分析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果.【详解】由，则.设点,则曲线C在M处的切线的斜率为.所以曲线C在M处的切线方程为：.即.所以 由三点的坐标可得，点为的中点.所以.故答案为：【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题.16. （·安徽高三月考（文））已知点，抛物线（）的焦点为，若此抛物线的准线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形，则的值等于___________.【答案】【解析】【分析】根据题意作出图形,设点,在中利用，建立关于的方程,解方程即可求解.【详解】根据题意作图如下：因为是等腰直角三角形, ,所以,即,整理得代入，整理化简得,,解得，因为,所以 ，因为,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其简单几何性质;重点考查学生的运算能力和数形结合思想的应用;属于中档题.