(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第3篇抛物线02（含解析）

高考数学选填题专项练习02（抛物线）

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（·黑龙江高三期末）若抛物线的一点到其准线的距离为3，则点到轴的距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线定义，求解点的横坐标，代入抛物线方程，即可求解.

【详解】由题意，抛物线的准线方程为，由到其准线的距离为3，则有，代入抛物线方程，解得，则点到轴的距离是故答案为：

【点睛】本题考查抛物线的准线方程，属于基础题.

2.（·四川省金堂中学校高三）已知抛物线的焦点是椭圆（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】抛物线，即，焦点为，故，，为正三角形，则边长为

故，，，故选

3．（·新疆高三期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则（   ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】

【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点的坐标，即可得点坐标，进而可求得的方程，容易得点的坐标，用两点之间的距离公式即可求得的长度.

【详解】根据题意，作图如下：

由题可知，点，故直线的方程为，联立抛物线方程

可得，解得或，因为点在第一象限，故可得.

又因为准线方程为，故可得.则直线的方程为，

令，解得，即可得.故.故选B.

【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.

4．（·山西高三月考）已知点是焦点为的抛物线上的一点，且，点是直线与的交点，若，则抛物线的方程为（   ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【解析】

【分析】依题意，；设，求出点坐标，由列出关于与的方程可得的值，由可得的值，可得答案.

【详解】依题意，；设，联立，解得，故，；因为，故，解得，且；又由得，，解得或，故选B.

【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质，需灵活运用已知条件解题，属于中档题.

5.（·山西高三月考）已知点是抛物线（为坐标原点）的焦点，倾斜角为的直线过焦点且与抛物线在第一象限交于点，当时，抛物线方程为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】过点作轴于点，则中，，所以，所以点的坐标为，得，解得，所以所求抛物线的方程为，故选B.

6．（·汕头市潮阳实验学校高三月考）过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点（点位于第一象限），交其准线于点，若，且，则直线的方程为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.根据抛物线的定义得，由，，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得，由直线的点斜式得出直线的方程.

【详解】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.在中，，，的斜率为，又，，，所以，直线的方程为，即，故选A.

【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.

7．（·湖南明达中学高三）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】利用抛物线的几何性质，求得的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为的形式.根据余弦函数的单调性可以求得的最大值.

【详解】由题意得，准线，，，过作，垂足为，则由抛物线定义可知，于是，在上为减函数，当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，，故选C.

【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.

8．（·宁夏大学附属中学高三月考（文））已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（   ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意作出图形，利用数形结合思想可得，当最小时，有最小值，通过几何分析可知，当时，有最小值，代入点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为的最小值，利用勾股定理即可求出的最小值.

【详解】根据题意，作图如下:

因为为圆的切线，所以，在中，由勾股定理可得，，

所以当最小时，有最小值，结合图形可知，当时，有最小值，由点到直线的距离公式可得，

圆心到直线的距离为，即的最小值为，此时有最小值为2.故选D

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和切线长公式的应用；利用数形结合思想、转化与化归的思想以及点到直线的距离公式是求解本题的关键；属于中档题.

9．（·南昌市新建区第二中学高三）已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（   ）

A． B．8 C．6 D．

【答案】B

【解析】

【分析】直线：过定点，当时，圆心到直线的距离最大，求出最大距离以及，进而可得的面积.

【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径，当时，圆心到直线的距离最大，∵，∴，即直线方程为，

则，，，到直线的距离为，则到直线的最大距离，此时的面积，故选B.

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当时，圆心到直线的距离最大是关键，是中档题.

10．（·湖南长沙一中高三月考）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（   ）

A．16 B．12 C．20 D．10

【答案】A

【解析】

【分析】设的方程为，，，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是，由弦长公式求得弦长，由垂直得方程，同理可得，求出，应用基本不等式可得最小值．

【详解】设的方程为，，，代入得，故，．则，同理，

，当且仅当时取“”，故选A．

【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，采取设而不求思想求弦长．

11．（·湖南长郡中学高三月考）已知，是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时，（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆C的圆心与半径，可得当，是圆的切线时，取得最大值，即，是圆的切点，利用距离公式及函数的导数求解最值，然后转化求解即可.

【详解】依题意可得，当，是圆的切线时，取得最大值，即，是圆的切点，设，.∵圆，∴圆心，半径为1，从而，

∵，令，则.∴当时，，即函数在上为减函数；当时，，即函数在上为增函数.∴，即.∴，此时最大.

∴.故选A.

【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合及导数在函数单调性中的应用，考查学生利用数形结合的思想解决问题的能力.

12.（·榆树市第一高级中学校高三期末）抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于、，若的面积为，则的长为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】双曲线的一个焦点为，所以，设点，则利用导数得到处切线方程，求出的坐标后利用的面积为4得到，最后利用焦半径公式可求.

【详解】双曲线的一个焦点为，所以.设点，故抛物线在点处切线的斜率为，切线方程为，所以，所以，故，，故选C.

【点睛】若求抛物线上点的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13.（·江苏金陵中学高三开学考试）已知抛物线上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．

【答案】

【解析】由抛物线定义得，即这点的坐标为．

14.（·天津市和平区教育局高三月考）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．

【答案】

【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.

15.（·江西省宁都中学高三月考）过抛物线的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，以为直径的圆与的准线有公共点，若点的纵坐标为2，则的值为______.

【答案】4.

【解析】

【分析】设，中点为分析可得以为直径的圆与的准线相切.再利用点差法求点的纵坐标即可求得的值.

【详解】设，中点为，则，故半径为，又中点到准线的距离为.故以为直径的圆与的准线相切，且为切点.故，即，又，又直线斜率为2，，故.故答案为：4

【点睛】本题主要考查了点差法求解弦中点的问题，同时也考查了焦点弦与准线的性质.属于中等题型.

16.（·河南高三）已知点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，若点为线段的中点，且，则__________．

【答案】8

【解析】

【分析】设，又，由为的中点，求得，直线的方程代入，得，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解．

【详解】设，又，因为为的中点，所以点的坐标为，则，即，又由，则，即，直线的方程为，代入，得，设，则，解得，由抛物线的定义得：，解得：．

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．