(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第18篇离心率01（含解析）

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  高考数学选填题专项测试01（离心率）第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2019·河北安平中学高三月考）已知是两个数2，8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（    ）A．或 B．或 C． D．【答案】B【解析】由题意得，解得或．当时，曲线方程为，故离心率为；当时，曲线方程为，故离心率为．所以曲线的离心率为或．选B．2．（·梅河口市第五中学高三）已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径    ，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形，又，可得：，。【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.3．（2019·河北安平中学高三月考）设双曲线C：的两条渐近线的夹角为，且=，则C的离心率为（　　）A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】由，渐近线的斜率小于1，从而判断渐近线的倾斜角为，得到的值，再根据，得到离心率．【详解】∵，∴渐近线的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为，=，，∴，所以，∴，∴．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角α，判断渐近线的斜率，考查转化思想以及计算能力．4．（·山西高二月考）已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，==+4a+m≥8a，最后求出结果．【详解】设|PF2|=m，（m≥c﹣a），则：根据双曲线的定义：|PF1|=2a+m，所以==+4a+m≥8a当且仅当m=2a时成立．因为m≥c﹣a，所以c﹣a≤2a，即解得：1＜e≤3，故选A．【点睛】（1）本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．（2）求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.5．（2019·吉林长春外国语学校高二期中）已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足既可以解得为D6．（·山西大同一中高三月考）若实数数列：1，，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（    ）A．或   B．或 C． D．或10【答案】A【解析】【分析】由等比数列的性质可得a的值，分类讨论可求曲线的离心率．【详解】由1，，81成等比数列有：，所以，当时，方程为，表示焦点在y轴的椭圆，其中，，故离心率；当时，方程为，表示焦点在x轴的双曲线，其中，，故离心率，故选择A.【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题.7．（·山东高三期末）已知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且，则的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为运用余弦定理可得，再由双曲线的定义可得，即为，运用离心率公式计算即可得到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为由题意可得，，即有，即有，由双曲线的定义可得，即为，即有，可得．故选D．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．（·河南南阳中学高三月考）己知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，计算，得到，计算得到答案.【详解】设，由知，由在椭圆上，可知四边形为矩形，；由，可得，由椭圆的定义可得，平方相减可得，所以，而，即，由可得，由，可得，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力.9．（·河北衡水中学高三月考）已知双曲线的左、右顶点分别为，，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】由题意知等腰中，，设，则，其中必为锐角．∵外接圆的半径为，∴，∴，，∴．设点P的坐标为，则，故点P的坐标为．由点P在双曲线上得，整理得，∴．选C．点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．10．（·江西临川一中高三月考）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为　　A． B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11．（·山西高三月考）已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知可求出焦点坐标为，可求得幂函数为，设出切点通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．【详解】依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.故选B．【点睛】本题考查双曲线的性质，已知抛物线方程求焦点坐标，求幂函数解析式，直线的斜率公式及导数的几何意义，考查了学生分析问题和解决问题的能力，难度一般.12．（·黑龙江实验中学高三期末）设椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知且，可得四边形AFBF′为矩形，设|AF′|=n，|AF|=m，根据椭圆的定义以及题意可知mn=2b2 ，从而可求得的范围，进而可求得离心率.【详解】设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|=|FF′|=2c.设|AF′|=n，|AF|=m，则在Rt△F′AF中，m＋n=2a  ①，m2＋n2=4c2 ②，联立①②得mn=2b2 ③.②÷③得，令=t，得t＋.又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得=t∈[1，2]，所以t＋∈.故椭圆C的离心率的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围的求法，考查了椭圆焦点三角形问题，需掌握椭圆的定义，属于中档题.第II卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13．（·四川高三）如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的离心率是______.【答案】【解析】【分析】根据三角形中位线证得，结合判断出垂直平分，由此求得的值，结合求得的值.【详解】∵，∴为中点，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．（·南京市高淳区湖滨高级中学高三月考）已知是双曲线的右焦点，是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意得，，转化条件得，再通过即可得到，即可得解.【详解】经过点且与轴垂直，，，为锐角，，即，即，，解得.又 ，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率取值范围的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.15．（·江苏高三月考）双曲线的渐近线与抛物线的两个交点(原点除外)连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线与抛物线的一个交点，再利用交点在渐近线上可得，进而根据可得结果.【详解】对于抛物线，当时，，则双曲线的渐近线与抛物线的一个交点为，则双曲线的渐近线的斜率，则离心率.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要通过条件找到的关系式，是基础题.16．（·四川省南充高级中学高二月考）设、为双曲线左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于点、，连接、，若，且，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】作出图形，设，可知是等腰直角三角形，利用双曲线的定义得出与的等量关系，并取线段的中点，可得出，利用勾股定理可求出该双曲线离心率的值.【详解】设双曲线的焦距为，如下图所示：取的中点，设，由于，，所以，为等腰直角三角形，且，为的中点，所以，，由双曲线的定义得，，又，，可得，，，，在中，由勾股定理得，则有，可得，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时在问题中涉及了双曲线的焦点，一般利用双曲线的定义来求解，并充分分析几何图形的形状，考查运算求解能力，属于中等题.