新高考数学一轮复习课时讲练 第5章 第4讲　数系的扩充与复数的引入 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第5章 第4讲　数系的扩充与复数的引入 (含解析)，共12页。试卷主要包含了复数的有关概念，复数的几何意义，复数的运算等内容，欢迎下载使用。

第4讲　数系的扩充与复数的引入


1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)

(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．　
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
[教材衍化]
1．(选修2­2P106B组T1改编)设复数z满足＝i，则|z|＝________．
解析：1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，
z＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1.
答案：1
2．(选修2­2P112A组T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是________．
解析：＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
答案：－3－4i
3．(选修2­2P116A组T2改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.
答案：－1
[易错纠偏]
(1)复数的几何意义不清致误；
(2)复数的运算方法不当致使出错；
(3)z与z的不清致误．
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C.因为A(6，5)，B(－2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.
2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝________．
解析：由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.
答案：4
3．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．
解析：因为z＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i.
答案：2＋i


　　　　　　复数的有关概念
(1)设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；
p4：若复数z∈R，则z∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
(2)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．
【解析】　(1)对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，则z∈R成立，故命题p1正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝a2－b2＋2abi∈R，得ab＝0，则a＝0或b＝0，复数z可能为实数或纯虚数，故命题p2错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝z2，故命题p3错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以z＝a∈R成立，故命题p4正确．故选B.
(2)因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
所以所以或
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
【答案】　(1)B　(2)5　2

解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　

1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)设复数z＝，则z的共轭复数为(　　)
A.－i　　 B.＋i
C．1－3i　　 D．1＋3i
解析：选B.z＝＝＝＋i.
2．(2020·浙江省高中学科基础测试)已知复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－2　　　 　B．－1 C．0　 　 　　D．2
解析：选A.＝＋i，由是纯虚数得＝0，所以a＝－2，故选A.

　　　　　　复数的几何意义
(1)(2020·台州模拟)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－2＋i D．2＋i
(3)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝(　　)

A．2 B．3
C．2 D．3
【解析】　(1)z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限，故选A.
(2)依题意得，复数z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(－2，1)对应的复数为－2＋i.
(3)由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，所以|z1＋z2|＝2.
【答案】　(1)A　(2)C　(3)A

复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　

1．已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.z－i＝|3＋4i|＝＝5，z＝5＋i，对应点(5，1)，在第一象限，故选A.
2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.

　　　　　　复数代数形式的运算(高频考点)
复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小．主要命题角度有：
(1)复数的乘法运算；
(2)复数的除法运算；
(3)利用复数相等求参数．
角度一　复数的乘法运算
(2020·浙江新高考冲刺卷)已知复数z＝1＋i，其中i为虚数单位，则复数1＋z＋z2＋…＋z2 017的实部为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1
C．21 009 D．－21 009
【解析】　因为z＝1＋i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 017＝＝
＝＝＝＝21 009＋i.
所以复数1＋z＋z2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.
【答案】　C
角度二　复数的除法运算
计算下列各式的值．
(1)；(2)；(3)＋i3.
【解】　(1)＝＝＝2i.
(2)＝＝2－i.
(3)＋i3＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0.
角度三　利用复数相等求参数
已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)
A．－7　　　 B．7　　　 C．－4　　 　D．4
【解析】　因为＝1＋＋＝－3－4i，
所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，
所以a＋b＝－7，故选A.
【答案】　A

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．　

1．(2018·高考浙江卷)复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
解析：选B.因为＝＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i，故选B.
2．(2020·嘉兴一中高考模拟)复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，则复数||＝(　　)
A. B．2 C. D.
解析：选D.复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，所以z·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z＝10－5i，可得z＝2－i.则复数||＝＝＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝＝.故选D.
3．(2019·高考浙江卷)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________．
解析：通解：z＝＝＝－，所以|z|＝＝.
优解：|z|＝＝＝＝.
答案：

[基础题组练]
1．(2020·温州七校联考)复数在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.＝＝＝－－i，其在复平面上对应的点位于第三象限．
2．(2020·金华十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为(　　)
A. B.－1
C．1 D.
解析：选A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的实部为，故选A.
3．若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.z＝＝⇒|z|＝.
4．如果复数z满足|z＋1－i|＝2，那么|z－2＋i|的最大值是(　　)
A.＋2 B．2＋i
C.＋ D.＋4
解析：选A.复数z满足|z＋1－i|＝2，
表示以C(－1，1)为圆心，2为半径的圆．
|z－2＋i|表示圆上的点与点M(2，－1)的距离．
因为|CM|＝＝.
所以|z－2＋i|的最大值是＋2.
故选A.
5．(2020·杭州市学军中学联考)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D.＝(x－xi)＝1－yi，所以解得x＝2，y＝1，故选D.
6．(2020·金丽衢十二校联考)已知复数z＝x＋(x－a)i，若对任意实数x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.因为z＝x＋(x－a)i，且对任意实数x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|，
所以>对任意实数x∈(1，2)恒成立．
即2(x－a)＋1<0对任意实数x∈(1，2)恒成立．
所以a>x＋(1 因为x＋∈，所以a≥.
所以实数a的取值范围为.故选C.
7．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于________．
解析：因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－.
答案：－
8．(2020·杭州市学军中学联考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝________．
解析：因为z＝－1－i，所以z＝－1＋i，
所以(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，
所以|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝.
答案：
9．(2020·宁波南三县六校联考)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，则＝________．
解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以＝＝i2＝－1.
答案：－1
10．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则实数m＝________．
解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.
答案：－5
11．计算：(1)；
(2)＋；
(3).
解：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＋＝＋＝＋＝－1.
(3)＝＝＝
＝－－i.
12．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)对应的点在x轴上方．
解：(1)根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义得
解得m＝1.
(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m＞5.
[综合题组练]
1．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，下列结论正确的是(　　)
A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：选D.依次判断各选项，其中A，C错，应为|z－z|＝2|yi|；B错，应为z2＝x2－y2＋2xyi，D正确，因为|z|＝≤＝＝|x|＋|y|.
2．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是　　(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数，所以y≠0，
又因为|(x－2)＋yi|＝，
所以(x－2)2＋y2＝3.
由图的几何意义得，是复数x＋yi对应点的斜率，所以＝tan∠AOB＝，
所以的最大值为.
3．若复数z1.z2满足|z1|＝|z2|＝2，|z1＋z2|＝2，则|z1－z2|＝________．
解析：由已知z1，z2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，|z1－z2|为另一对角线长，如图，易知∠Z1OZ2＝60°，所以|z1－z2|＝2.

答案：2
4．已知复数z＝，当a≥2时，|z|2＋t|z|＋4>0恒成立，则实数t的取值范围是________．
解析：当a≥2时，复数z＝＝＝a－ai，|z|＝＝2a.
当a≥2时，|z|2＋t|z|＋4>0恒成立，则4a2＋2at＋4>0，化为：t>＝－2.
令f(a)＝a＋(a≥2)，f′(a)＝1－>0，
所以f(a)在a≥2时单调递增，所以a＝2时取得最小值.所以t>－5.
答案：(－5，＋∞)
5．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝＋i.
因为z＋是实数，所以b－＝0.
又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
所以a＋3＋b＝0.②
由解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.