高考数学二轮复习精准培优专练专题04 恒成立问题 (含解析)

培优点四  恒成立问题

1．参变分离法

例1：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】，其中，

只需要．

令，，，，

在单调递减，在单调递减，

，．

2．数形结合法

例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________．【答案】

【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图像，

扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，，

即，所以．

3．最值分析法

例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围___________．【答案】

【解析】恒成立即不等式恒成立，令，

只需即可，，

，令（分析的单调性）

当时   在单调递减，则

(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）

当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）

若，单调性如表所示

，．

（1）可以比较，的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在，处取得，所以让它们均大于0即可．

（2）由于，并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）

若，则在上单调递增，，符合题意，

综上所述：．

一、选择题

1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

若，即有，分别作出函数和直线的图象，

由直线与曲线相切于原点时，，则，解得，
由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切，满足条件．
即有，解得．故选B．

2．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：，

令可得：，，且：，，，，

据此可知函数在区间上的最小值为，

结合恒成立的条件可得：，

求解关于的不等式可得实数的取值范围是．本题选择C选项．

3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，在内恒成立，所以，

由于，所以，，所以，故选D．

4．已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．

令，，则，

∴当时，，单调递增，当时，，单调递减．

∴，∴，∴．

故实数的取值范围是．故选A．

5．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若恒成立，则，，

所以在单调递减，在单调递增．，，所以．

故选D．

6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】时，恒成立不等式等价于，，

设，，

，在单调递减，在单调递增，，

当时，可知无论为何值，不等式均成立，

当时，恒成立不等式等价于，，

同理设，，在单调递增，

，，综上所述：．故选C．

7．函数，若存在使得成立，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】若存在使得成立，则在内即可，

，，

故在上单调递减，，故选A．

8．设函数，若存在，使，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】的定义域是，，

当时，，则在上单调递增，且，

故存在，使；

当时，令，解得，令，解得，

在上单调递增，在上单调递减，

，解得．

综上，的取值范围是．故选D．

9．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，恒成立，若，为任意实数，恒成立，

若时，恒成立，

即当时，恒成立，设，则，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

当时，取得最大值为．

则要使时，恒成立，的取值范围是，故选D．

10．已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，故对时，不成立，

从而对任意，恒成立，

因为，对任意恒成立，

如图所示，则必有，计算得出．故选B．

11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】不等式，即，

结合可得恒成立，即恒成立，

构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，

故恒成立，即恒成立，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

则的最小值为，据此可得实数的取值范围为．本题选择D选项．

12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，，则，

∴当，，单调递减；

当，，单调递增，

∴当时，取得最小值．

如下图所示．

又，故；

，故．

故当时，满足在直线的下方．

∵直线恒过定点且斜率为，∴要使得有且只有一个整数使得，

只需，∴，

又，∴实数的取值范围．故选C．

二、填空题

13．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】法一：如图，

因为恒成立，则的图像在的上方（可以有公共点），

所以即，填．

法2：由题设有．

当时，；

当时，有恒成立或恒成立，

故或即，填．

14．函数，其中，若对任意正数都有，则实数的取值范围为____________．

【答案】

【解析】对任意正数都有，即不等式对于恒成立．

设，则．

故在上是减函数，在上是增函数，

所以的最小值是，所以的取值范围是．

15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】根据函数在上单调递增，则在上恒成立，

即在上恒成立，所以恒成立，

即在上恒成立，所以，

故实数的取值范围是．

16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．

【答案】

【解析】①当时，函数外层单调递减，

内层二次函数：

当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，

，解得；

当，即时，无意义；

当，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，

则需，，无解；

当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，

，无解．

②当时，函数外层单调递增，

，二次函数单调递增，函数单调递增，

所以，解得：．

综上所述：或．

三、解答题

17．设函数，其中，

（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（2）若，成立，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），定义域为，

，

设，

当时，，，函数在为增函数，无极值点．

当时，，

若时，，，函数在为增函数，无极值点．

若时，设的两个不相等的实数根，，且，

且，而，则，

所以当，，，单调递增；

当，，，单调递减；

当，，，单调递增．

因此此时函数有两个极值点；

当时，但，，

所以当，，，单调递增；

当，，，单调递减．

所以函数只有一个极值点．

综上可知，当时有一个极值点；当时的无极值点；当时，的有两个极值点．

（2）由（1）可知当时在单调递增，而，

则当时，，符合题意；

当时，，，在单调递增，而，

则当时，，符合题意；

当时，，，所以函数在单调递减，而，

则当时，，不符合题意；

当时，设，当时，

在单调递增，因此当时，，

于是，当时，

此时，不符合题意．

综上所述，的取值范围是．

18．设函数，

（1）证明：在单调递减，在单调递增；

（2）若对于任意，，都有，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】，注意到，于是再求导得，，由于，于是为单调递增函数，

时，，时，，

在单调递减，在单调递增．

（2）若不等式恒成立，

则，在连续，

在有最大最小值，

，

由（1）可知在单调递减，在单调递增，

，，

，

设，

，在单调递减，在单调递增

，，故当时，，

当时，，，则上式成立．

当时，由的单调性，，即，

当时，，即，

综上，的取值范围为．